Encontrar la cohomología de Rham de un subconjunto abierto de $ \Bbb{R}^{n} $ un aspecto negativo.

Question

Aquí está mi pregunta:

Deje $ n \in \mathbb{N}_{\geq 2} $. Supongamos que $ U \subseteq \Bbb{R}^{n} $ es un conjunto abierto y que $ x \in U $. A continuación, mostrar que $$ {H_{\text{dR}}^{n - 1}}(U \setminus \{ x \}) \neq 0. $$

Mis pensamientos:

Yo estaba tratando de usar que $$ S \hookrightarrow U \setminus \{ x \} \hookrightarrow \Bbb{R}^{n} \setminus \{ x \} $$ (donde $ S $ es una pequeña esfera en $ U $ centrada en $ x $) debe inducir un homotopy de equivalencia, por lo que $$ {H_{\text{dR}}^{n - 1}}(U \setminus \{ x \}) \cong {H_{\text{dR}}^{n - 1}}(S) \cong \Bbb{R}. $$

Tengo la sensación de que hay algo terriblemente mal con esta línea de pensamiento, así que había ganas de un poco de ayuda. Estoy de acuerdo con una respuesta directa, siempre y cuando usted piensa que la solución solo sería iluminador.

P. S.: Este es mi primer post. Algún consejo sobre cómo podría yo hacer mi pregunta mejor sería apreciada así.

Answer 1

De hecho, esto puede ser hecho por algunos basic avanzado de la técnica de cálculo. En particular, el Teorema de Stokes.

En primer lugar por una traducción y una escala, suponga que $x$ es el origen y la unidad de la esfera de $S$$U$. Vamos

$$\eta = \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} x^i dx^1 \wedge \cdots \wedge \hat{dx^i} \wedge \cdots dx^n,\ \ \ \ \omega = \frac{1}{r^n} \eta,$$

donde $r = \sqrt{(x^1)^2 + \cdots + (x^n)^2}$ . Entonces uno puede comprobar que $\omega$ es una forma cerrada. También se puede comprobar que no es exacta: de Hecho, $\omega = \eta$ cuando restringida en la unidad de la esfera. Así

$$\int_S \omega = \int_S \eta = \int_{\partial B} \eta = \int_B d\eta = n Vol(B), $$

donde $B$ es la unidad de la bola. Por otro lado, si $\omega$ es exacta, $\int_S\omega$ es cero por el teorema de Stokes de nuevo.

Por lo tanto $\omega$ es un cerrado, pero no exacto $n-1$ formulario $U\setminus\{0\}$. Por lo tanto $H^{n-1}_{dR} (U \setminus \{0\})$ no es cero.

Answer 2

Usted tiene la idea correcta, pero está en la línea de pensamiento no es del todo correcto. El mapa $$S^{n-1} \hookrightarrow U \setminus \{ x \} \hookrightarrow \Bbb{R}^{n} \setminus \{ x \}$$ es de hecho un homotopy de equivalencia, por lo que la composición $$H^{n-1}_{dR}(S^{n-1}) \rightarrow H^{n-1}_{dR}(U \setminus \{ x \}) \rightarrow H^{n-1}_{dR}(\Bbb{R}^{n} \setminus \{ x \})$$ is an isomorphism. Since $H^{n-1}_{dR}(S^{n-1})\neq0$ we get $H^{n-1}_{dR}(\Bbb{R}^{n})\neq0.$ (De lo contrario, la composición no sería inyectiva.)

Sin embargo, su reclamación $H^{n-1}_{dR}(U\backslash\{x\})\cong \mathbb{R}$ no es correcto. Abierto anillo $U\subseteq\mathbb{R}^2$ sirve como contraejemplo, ya que mantiene $H^1_{dR}(U\backslash\{x\})\cong\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$.