Probabilidad de un funcionamiento de un color específico a partir de una urna con dos colores de bolas

Question

Me enviaron un rompecabezas con una urna con bolillas blancas 128 y 288 negro. Si las bolas se dibujan sin reemplazo hasta que se agote la urna, ¿cuál es la probabilidad que se sorteará una secuencia de 10 consecutivos o más bolas blancas?

Yo esto solucionado algorítmicamente usando recursividad y llegó a ~ 0.00170843. Simulaciones de igualar este resultado bien.

¿Hay un método más directo de la conbinatorial para responder a este tipo de pregunta?

Answer 1

Supongamos que tenemos $w$ bolas blancas y $b$ bolas negras, y que se colocan en un orden aleatorio. Definir los índices con bolas negras a ser $1\leq i_1<i_2<\cdots < i_b\leq w+b$. Definimos los espacios entre las bolas negras para ser $$g_1=i_1, \quad g_j=i_j-i_{j-1} \mbox{ for }2\leq j\leq b,\quad \mbox{ and }\ g_{b+1}=(b+w+1)-i_b.$$

Tenga en cuenta que estas brechas de forma que la composición de la entero $b+w+1$ en $b+1$ partes, y que hay una correspondencia uno a uno entre el ordenamiento al azar de los colores y de tales composiciones.

Por ejemplo, si $w=3$$b=2$, entonces el orden $BWWBW$ corresponde a la composición de la $1+3+2$ $6$ a $3$ partes. En general, $g_1+g_2+\cdots +g_{b+1}=b+w+1.$

Ahora los pedidos, donde las pistas de bolas blancas todas tienen un tamaño de menos de $m$ son exactamente aquellos en los que el negro lagunas que se encuentran en la mayoría de las $m$. Pero podemos contar estos con la misma fórmula que dice nos cuántas maneras podemos rollo $b+1$ a los dados con $m$ lados y consigue un total de $b+w+1$, es decir,

$$S:=\sum_{j=0}^{\lfloor w/m\rfloor} (-1)^j {b+1\choose j}{w+b-jm\choose b}.$$

La necesaria probabilidad de que al menos una carrera de $m$ o más consecutivos bolas blancas es $$P=1-{S\over {b+w\choose b}}.$$

Para $w=128$, $b=288$, y $m=10$ esto da $P=.001708427151$.