¿Qué es una raíz cuadrada?

Question

Si la adición es la suma de dos números, la sustracción es la eliminación de un número de otro.

La multiplicación es $x$ muchos $y$ .

La división se está dividiendo $x$ entre $y$ .

Las potencias multiplican un valor por sí mismo.

¿Qué es una raíz cuadrada?

Para que quede claro, pregunto qué función cumple realmente una raíz cuadrada.

No consigo dar una respuesta sin el concepto de poderes al que referirme.

Por ejemplo, ¿cómo resolverías la raíz cuadrada de $121$ sin saber previamente que $11^2$ es $121$ ?

¿Es tan ciego como probar cada valor hasta o después de una respuesta hasta que encontremos una solución y luego hacer la bisección hasta que obtengamos un resultado?

Editar: Creo que mi pregunta seguía siendo poco clara, cómo podría realizar una raíz cuadrada a un valor sin hacer ingeniería inversa a la pregunta en una pregunta de potencias. Por ejemplo, raíz cuadrada $123456$ no se sabe si la raíz es entera o decimal.

Answer 1

Como no entiendo del todo su pregunta, dividiré mi respuesta en tres partes: la definición de raíz cuadrada , cómo entenderlo y algoritmos para calcularlo.

DEFINICIÓN DE RAÍZ CUADRADA

Para citar Wikipedia ,

En matemáticas, la raíz cuadrada de un número $a$ es un número $y$ tal que $y^2=a$ En otras palabras, un número $y$ cuyo cuadrado $(y \times y)$ es $a$ . Por ejemplo, $-4$ y $4$ son ambas raíces cuadradas de $16$ porque $(4)^2=(-4)^2=16$ .

Todo número real no negativo $a$ tiene una única raíz cuadrada no negativa, llamada raíz cuadrada principal que se denota por $\sqrt{a}$ donde el $\sqrt{\square}$ signo se llama signo radical o un radix . Por ejemplo, la raíz cuadrada principal de $9$ es $3$ , denotado como $\sqrt{9}=3$ porque $3^2=9$ y $3$ es no negativo. El término cuya raíz se está considerando se conoce como radicand . El radicando es el número o la expresión que se encuentra debajo del signo radical, en este ejemplo $9$ .

CÓMO ENTENDERLO

Una forma de enfocar esto es pensar por inversión. Lo que tú haces, alguien puede deshacerlo.

A $\color {blue}{\text{summation}}$ es el reverso de $\color {blue}{\text{subtraction}}$ . De hecho, $\color {blue}{\text{subtraction}}$ puede "deshacer" un $\color {blue}{\text{summation}}$ y $\color {blue}{\text{summation}}$ deshace' un $\color {blue}{\text{subtraction}}$ .

$\color{green}{\text{Division}}$ es el reverso de $\color{green}{\text{multiplication}}$ . $\color{green}{\text{Division}}$ deshace un $\color{green}{\text{multiplication}}$ , $\color{green}{\text{Multiplication}}$ se puede "deshacer" con un $\color{green}{\text{division}}$ .

Piensa en un $\color {orange}{\text{square root}}$ como una inversión de un $\color {orange}{\text{square}}$ La función de la función "Deshacer": puede "deshacer" un $\color {orange}{\text{square}}$ con un $\color {orange}{\text{square root}}$ y un $\color {orange}{\text{square}}$ puede "deshacer" un $\color {orange}{\text{square root}}$ . Esto puede llevar a cierta confusión, ya que $x^2$ no es invertible. Para aclararlo, piensa en la raíz cuadrada de $16=4^2=(-4)^2$ . Una raíz cuadrada no es una función. Por lo tanto, tomar la raíz cuadrada de $16$ deshace el cuadrado, dando dos valores- se convierte en $4$ , $-4$ .

Así que para resumir $$\color {blue}{\text{summation}} \leftrightarrow \color {blue}{\text{subtraction}}$$ $$\color {Verde}{ \text {División}} \leftrightarrow \color {Verde}{ \text {multiplicación}}$$ $$\color {naranja}{ \text {raíz cuadrada}} \leftrightarrow \color {naranja}{ \text {cuadrado}}$$

ALGORITMOS PARA ENCONTRARLO

Si quieres determinar si es entero o irracional, si un número entero está entre dos cuadrados, entonces es decimal. En tu ejemplo, ya que $351^2=123201<123456<123904=352^2$ Es irracional.

Por supuesto, hay argumentos más inteligentes. Por ejemplo, si $3$ divide $n$ pero $n$ no es divisible por $9$ Esto implica $n$ no es un cuadrado. Esto es cierto en el caso de $n=123456$ . Otros ejemplos son $$n \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow n \quad \text{is not a square}$$ $$n \equiv 2,3 \pmod 5 \Rightarrow n \quad \text{is not a square}$$ Pero tenga en cuenta que estos métodos no siempre son fáciles y a veces requieren suerte.

Existe una operación para encontrar (o aproximar) raíces cuadradas, no muy diferente de la división larga. Se puede ver una sencilla aquí .

Por supuesto, la forma más rápida de aproximarse es utilizando la secuencia { $x_{n}$ } que se define de la siguiente manera.

$$x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_{n}+\frac{c}{x_{n}})$$

No es difícil ver que $\lim_{x \rightarrow \infty}x_{n}=\sqrt{c}$ . Esta secuencia en realidad converge bastante rápido, por lo que es útil, lo que equivale a Método Newton en $x^2-N$ .

Hay, por supuesto, otros algoritmos para calcular la raíz cuadrada. Y también hay algunos bastante exclusivos. Por ejemplo, $$\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{F_{n+1}}{F_{n}}+\frac{F_{n}}{F_{n+1}}}=\sqrt{5}$$ Dónde $F_{n}$ es el Secuencia de Fibonacci . Pero no convergen tan rápido como el anterior.

Más debates sobre el definición , y el algoritmos puede ser que se encuentran en los enlaces proporcionados .

Answer 2

Creo que estás confundiendo el definición de una raíz cuadrada con el algoritmo necesario para calcularlo. En matemáticas, hay muchos conceptos que podemos definir, pero en los que puede ser difícil encontrar realmente algún objeto que satisfaga la propiedad.

A raíz cuadrada de un número $n$ se define como cualquier número $x$ que satisface esta propiedad: $$x^2 = n.$$

Por ejemplo, podemos comprobar que $2$ y $-2$ son raíces cuadradas de $4$ .

A menudo hablamos de el raíz cuadrada, que es una abreviatura del término raíz cuadrada principal . Con ello nos referimos a la simple convención de que $\sqrt{4} = 2$ (y no $-2$ ). Pero eso es sólo una convención.

En realidad encontrar una raíz cuadrada es más compleja. Muchos algoritmos utilizarán matemáticas algo más elevadas. Pero lo esencial es: tomar un número $a$ cuyo cuadrado es menor que $n$ y otro número $b$ cuyo cuadrado es mayor que $n$ y entonces sabes que la raíz cuadrada de $n$ debe estar entre esos dos. Repita hasta que tenga la precisión necesaria (rara vez será hecho ya que la mayoría de las raíces cuadradas son irracionales).

Answer 3

Se pregunta: "¿Es tan ciego como probar cada valor hasta o más allá de una respuesta hasta que encontremos una solución y luego hacer la bisección hasta obtener un resultado?", "¿Cómo podría realizar una raíz cuadrada en un valor sin hacer ingeniería inversa a la pregunta en una pregunta de potencias?"

Una situación muy similar ocurre con la división, que se define por referencia a la multiplicación. ¿Cómo puedo saber si $\dfrac{123456}{643}$ ¿es entera o decimal? Las raíces [cuadradas] no tienen ningún misterio.

Al igual que hay algoritmos numéricos que permiten realizar divisiones, los hay para las raíces. También puedes recurrir a los logaritmos/antilogaritmos.

Y, sí, extraer una raíz requiere resolver de alguna manera una ecuación de potencia, en el mismo sentido que realizar una división requiere resolver una ecuación multiplicativa.

Answer 4

Si piensas en la potencia cuadrada $l^2$ como el área del cuadrado de lado $l$ que la raíz cuadrada es encontrar el lado de un cuadrado de área dada. Esta parece la interpretación más intuitiva de la raíz cuadrada para los números reales positivos.

Answer 5

Para responder de la misma manera que has preguntado:

Elevar al cuadrado un número es convertir una línea en un cuadrado; por ejemplo, una línea de 10 bloques hecha "Cuadrado" creará un cuadrado de 100 bloques.

Tomar un "cuadrado" de 25 bloques y reducirlo a una línea daría 5 bloques.

Hay muchas respuestas mejores aquí, pero no he visto ninguna que lo explique de la misma manera que has preguntado..

Edición: Acabo de darme cuenta de que podría haberlo dicho más claramente con una mejor redacción:

La cuadratura es la operación utilizada para encontrar el área de un cuadrado a partir de la longitud de un lado.

La raíz cuadrada es encontrar la longitud de un lado a partir del área de un cuadrado.

Por eso utilizamos el nombre de "Cuadrado".