Integral de la función de Debye (cuerpo negro)

Question

Muestran que

$$ \int^{\infty}_{0} \frac{x^{3} \, dx}{e^{x}-1} = \frac{\pi^{4}}{15} $$

ampliando el integrando en poderes de $e^{-x} $ e integración término por término.

¿Podría alguien ayudarme con este?

Answer 1

$$\frac{1}{e^{x}-1}=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-(n+1)x}$$

¿Puede terminar el resto?