¿Cómo se muestra que una función periódica arbitraria, siempre y cuando sea razonablemente bien-comportado, puede siempre ser representada como una suma de funciones seno y coseno? Suena como lo primero que aprendes cuando se trata de Series de Fourier pero mi texto simplemente dice que esto es verdad y va a decirme cómo calcular los coeficientes. ¿Puede alguien ayudarme?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Como se mencionó en los comentarios, que es probablemente demasiado difícil probar que dado lo que el texto asume que usted sabe.
La idea básica es que el $B = \{1\}\cup\{\cos(nx)\mid n \in \mathbb{N}\}\cup\{\sin(nx)\mid n\in\mathbb{N}\}$ constituye una base para el espacio que usted está interesado adentro; es $L^2[-\pi, \pi]$, pero no voy a explicar lo que significa. Nota, mucho cuidado debe ser tomado aquí como el espacio de infinitas dimensiones; en particular, la definición de base no está claro. Como $B$ es una base, podemos escribir cualquier elemento de $L^2[-\pi, \pi]$ como una combinación lineal de los elementos en $B$. Además, el espacio de $L^2[-\pi, \pi]$ tiene un producto interior. Con respecto a este producto interior, los elementos de $B$, hasta un factor constante, forman una base ortonormales para $L^2[-\pi, \pi]$. Esto nos permite escribir de manera explícita los coeficientes de los vectores de la base en la combinación lineal (este resultado es cierto en lo finito y lo infinito dimensional espacios vectoriales, ver aquí); estos son, precisamente, las fórmulas que han de $a_n$$b_n$.
Nota, algo de lo que he dicho no es estrictamente cierto, pero las ideas que aproximadamente coincide con la teoría. Más detalles se pueden encontrar en la Wikipedia.
Drealmer
Puntos
2284
Una atractiva pero un poco engañoso argumento en favor de esas expansiones es considerar el Laplaciano $d^2/dx^2$ e su $2\pi$-periódico funciones propias (el exponenciales, o, de manera equivalente, senos y cosenos), y se imaginan que todos los $2\pi$-funciones periódicas debe ser expresable como (infinito) de las combinaciones lineales de funciones propias. El "expresable como" es parte de la cuestión, ya que tenemos infinitas sumas de dinero, por lo que la convergencia surgen problemas... De hecho, square-integrabilidad es suficiente para el cuadrado integrable (una vez llamado "mean-square") convergencia, pero definitivamente no es para pointwise. (Cantor inventó la teoría de conjuntos, mientras que tratando de entender pointwise convergencia de series de Fourier.)
La moraleja es que, en general, no tienen que ser la base de las funciones propias de la "auto-adjuntos" (programación orientada a objetos, y esta noción de necesidades precisification, también!) los operadores! El Laplaciano en la línea real ya ilustra este tal vez chocante de la situación, donde la transformada de Fourier de la inversión expresa funciones como superposiciones [sic!] de no$L^2$ funciones exponenciales $e^{i\xi x}$.
Sin embargo, un
