¿Ignoramos siempre cero soluciones energéticas a los (unidimensional) ecuación de Schrödinger?

Question

Cuando se resuelve la ecuación de Schrödinger en un infinito de dominio con un potencial dado por $U$, la mayor parte del tiempo la menor energía posible para una solución corresponde a un valor distinto de cero de energía. Por ejemplo, para el oscilador armónico simple con una frecuencia $\omega$, las posibles energías $\hbar\omega(n+\frac12)$$n =0,1,\dots$ . Algunas veces, las soluciones con energía cero son, posiblemente, matemáticamente, pero las condiciones de contorno significa que esas soluciones sería en todas partes de cero, y por lo tanto la probabilidad de encontrar una partícula en cualquier lugar sería cero. (Por ejemplo, un infinito potencial).

Sin embargo, a la hora de resolver la ecuación de Schrödinger para una partícula que se mueve libremente en un círculo de lenfth $2\pi$ periódicos de las condiciones de contorno $\Psi(0,t)=\Psi(2\pi,t)$$\frac{\partial\Psi}{\partial x}(0,t)=\frac{\partial\Psi}{\partial x}(2\pi,t)$, he encontrado un (ficticio) de la solución de $\Psi(x,t)=\frac1{2\pi}$ con energía correspondiente a $0$. No puedo encontrar una manera de descontar de este matemáticamente, y parece que tiene sentido físico así. Es esta una solución válida, y por lo tanto, es a veces permitido disponer de soluciones con $0$ de la energía? O es que hay algo que me falta?

Answer 1

La solución es válida. Tiene cero energía cinética. No necesariamente tiene cero de energía. Puede tener cualquier energía potencial quieras. Sólo porque su objeto es "mover libremente," eso no significa que el potencial es cero. Usted podría tener $V(x)=k$ para cualquier constante $k$. El valor de $k$ no es observable y no tiene ningún significado físico.

En general, no tiene un significado especial para tener energía cero en la solución a la ecuación de Schrödinger. La solución puede ser definido a tener cero de energía, simplemente cambiando el potencial apropiadamente como $V\rightarrow V+c$ donde $c$ es una constante.

Un realista como los casos de cero energía cinética y una constante de la función de onda serían algunas de las partículas del rotor modelos de núcleos, en los que la deformada (alargados) núcleo (rotor) tiene cierta orientación en el espacio, especificada por uno o dos coordenadas angulares. Si la extraña partícula tiene algún componente $K$ de su momento angular a lo largo del eje de simetría, se obtiene una rotación de la banda con energías proporcional a $J(J+1)$, a partir de un estado del suelo en $J=K$. En el estado fundamental de la $K=0$ de los casos, el rotor tiene cero energía cinética, y su función de onda es una constante como función de las coordenadas angulares.

Answer 2

En mi opinión, la pregunta importante a responder aquí es un caso especial de la cuestión más general

Dado un espacio de $M$, lo que son físicamente admisibles wavefunctions para una partícula que se mueve en $M$?

Aparte de los problemas de suavidad wavefunctions (que puede ser complicado; considerar la delta de Dirac potencial en la recta real, por ejemplo), como lo que puedo decir que no son precisamente otras dos condiciones que uno debe considerar:

1. Hace la función de onda en cuestión satisfacer el deseado de las condiciones de contorno?

2. Es la función de onda en cuestión de cuadrado integrable?

Si una función de onda satisface estas propiedades, entonces yo estaría inclinado a afirmar que es físicamente admisibles.

En el caso de que $M$ es el círculo de $S^1$, la constante solución es suave, cumpla con las condiciones adecuadas para ser una función en el círculo (periodicidad), y es de cuadrado integrable, por lo que es físicamente un estado permitido. También pasa a ser un autovector del operador Hamiltoniano con autovalor cero; no hay nada malo con un estado de energía cero.