Mi solución para 3 y 4.
Me pareció conveniente para resolver 3 y 4 juntos, a la vez. La solución es bastante larga, pero algo puede ser a la izquierda (lo escribí en aras de la exhaustividad).
Una. La reducción a un estándar de la BVP con Robin BCs.
No hay un estándar truco para reducir su homogénea en BCs para homogéneas, con el fin de obtener un BVP con la clásica Robin BCs.
En primer lugar, usted tiene que encontrar una función $u_0\in W^{1,2}(0,1)$ que satisface BCs. Parece razonable buscar esas $u_0$ en la forma simple $\alpha x+\beta$, $\alpha ,\beta$ parámetros se determina la imposición de la BCs; es fácil ver que $u_0(x):= -3/2 x+5$ satisface $u_0(0)=5$$u_0(1)+u_0^\prime (1)=2$.
Ahora, establezca $w=u-u_0$, de tal manera que $w\in W^{1,2}(0,1)$ satisface el Robin BCs:
$$w(0)=0 \qquad \text{and}\qquad w(1)+w^\prime (1)=0 \; ;$$
por lo tanto $u$ soluciona el problema:
$$\begin{cases} -u^{\prime \prime} +u^\prime =e^x &\text{, in } ]0,1[ \\ u(0)=5 \\ u(1)+u^\prime (1)=2\end{cases}$$
si y sólo si $w$ resuelve:
$$\tag{R} \begin{cases} -w^{\prime \prime} +w^\prime =e^x +\frac{3}{2} &\text{, in } ]0,1[ \\ w(0)=0 \\ w(1)+w^\prime (1)=0\end{cases}$$
cual es el problema mencionado con el estándar de Robin BCs.
B. Débil formulación del problema (R).
Problema (R) puede ser reescrita en la forma débil de la siguiente manera. Vamos a:
$$K:=\left\{ v\in W^{1,2}(0,1):\ v(0)=0\right\}\; .$$
$K$ es el cierre convexo de un subconjunto de a $W^{1,2}(0,1)$ en el que se espera encontrar la solución de (R), por lo tanto usted puede utilizar cualquier $v\in K$ como función de prueba de proceder a la refundición (R) en forma débil.
Observe que la educación a distancia en (R) es equivalente a:
$$-\frac{\text{d}}{\text{d} x}\Big[ e^{-x}\ w^\prime (x)\Big] =1+\frac{3}{2}\ e^{-x}$$
($e^{-x}$ es un factor de integración), por lo tanto, después de haber multiplicado ambos lados de (1) por $v\in K$, se puede integrar para obtener:
$$-\int_0^1 \frac{\text{d}}{\text{d} x}\Big[ e^{-x}\ w^\prime (x)\Big]\ v(x)\ \text{d} x = \int_0^1 \left( 1+\frac{3}{2}\ e^{-x}\right) \ v(x)\ \text{d} x$$
y una mayor integración por partes en la LHside rendimientos:
$$\tag{1} \frac{1}{e}\ w(1)\ v (1) +\int_0^1 e^{-x}\ w^\prime (x)\ v^\prime (x)\ \text{d} x=\int_0^1 \left( 1+\frac{3}{2}\ e^{-x}\right)\ v(x)\ \text{d} x\; ;$$
si establece:
$$B[w,v]:=\frac{1}{e}\ w(1)\ v (1) +\int_0^1 e^{-x}\ w^\prime (x)\ v^\prime (x)\ \text{d} x$$
y $\phi (x):=1+3/2\ e^{-x}\in C^\infty ([0,1])\subseteq W^{1,2}(0,1)$, reescribir (1) como:
$$\tag{W} B[w,v]=\langle \phi ,w\rangle$$
cual es la forma débil de (R).
C. Existencia y unicidad de la solución débil de (R); formulación variacional de (R).
La forma bilineal $B[w,v]$ es continua, simétrica y coercitivas en $W^{1,2}$: de hecho, la continuidad y la simmetry son obvias; por otro lado, con el fin de demostrar coercitividad tienes que utilizar $e^{-x}\geq 1/e$ y la desigualdad de Poincaré:
$$\lVert w\rVert_{W^{1,2}}\leq \gamma\ \lVert w^\prime \rVert_{L^2} \qquad \text{(} \gamma >0\text{)}$$
(que no tiene porque $w(0)=0$; ver [Brezis, Análisis Funcional, Espacios de Sobolev y ecuaciones en derivadas parciales, la Prop. 8.13]), para que estas desigualdades de rendimiento:
$$B[w,w]\geq \frac{1}{e}\ \lVert w^\prime \rVert_{L^2}^2\geq \frac{1}{e\ \gamma}\ \lVert w\rVert_{W^{1,2}}^2\; .$$
Desde $\phi \in W^{1,2}$, el funcional $W^{1,2}\ni w\mapsto \langle \phi ,w\rangle \in \mathbb{R}$ es lineal y continua, y Stampacchia teorema [Brezis, Thm. 5.6] se aplica a (W) proporcionar una única solución débil $w\in K$ a ese problema. Esta solución también se resuelve el problema variacional:
$$\tag{V} \min \Big\{ B[v,v]-\langle \phi ,v\rangle,\ v\in K\Big\}$$
(problema (V) es en realidad la forma variacional de (R)).
D. La regularidad de la solución débil.
Aquí una especie de bootstrap argumento es utilizado... tal vez la prueba se puede acortar de alguna manera.
El uso de Sobolev de incrustación [Brezis, Thm. 8.8], de $w\in W^{1,2}(0,1)$ ganancia $w\in C([0,1])$. Ahora, se multiplican ambos lados de la educación a distancia en (R) por $w$ e integrar más de $[0,x]$. Te vas a encontrar:
$$\int_0^x \phi (t)\ w(t)\ \text{d} t =\int_0^x \frac{\text{d}}{\text{d} t}\Big[ e^{-t} w^\prime (t)\Big]\ w(t)\ \text{d} t\; ;$$
después de una integración por partes en la RHside (si no me equivoco):
$$\tag{2} -e^{-x}\ w^\prime (x)\ w(x) +\int_0^x e^{-t}\ (w^\prime (t))^2\ \text{d} t=\int_0^x \phi (t)\ w(t)\ \text{d} t$$
y después de otra integración por partes se tiene:
$$\tag{3} \frac{1}{2}\ e^{-x} w^2 (x) +\underbrace{\frac{1}{2} \int_0^x e^{-t} w^2(t)\ \text{d} t}_{A(x)}+\underbrace{\int_0^x \int_0^t e^{-\tau}\ (w^\prime (\tau))^2\ \text{d} \tau\ \text{d} t}_{B(x)}=\underbrace{\int_0^x \int_0^t \phi (\tau)\ w(\tau)\ \text{d} \tau\ \text{d} t}_{C(x)}\; .$$
Funciones de $A$ $C$ son obviamente de la clase $C^1([0,1])$ (en realidad $C$ es de clase $C^2$); debido a que $w^\prime\in L^2$$\phi \in L^\infty$, usted tiene $\phi\ (w^\prime)^2\in L^1$ por lo tanto $\int_0^t e^{-\tau}\ (w^\prime (\tau))^2\ \text{d} \tau$ es absolutamente continua y $B$ es de clase $C^1([0,1])$; entonces a partir de (3) $e^{-x}\ w^2(x) =2[C(x)-A(x)-B(x)]$ es de clase $C^1([0,1])$ $w\in C^1([0,1])$.
Pero, a continuación, a partir de (2) ganancia $w^\prime \in C^1([0,1])$, por lo $w\in C^2([0,1])$ y la solución débil $w$ es en realidad una solución clásica de (R).
Llegando a 5, no he entendido cuál es el problema en realidad está pidiendo...
Deje $X:=\text{span} \Big\{ Q_1,\ldots Q_N\Big\}$. ¿El problema de preguntar para encontrar $\tilde{w}=\sum_{n=1}^N \alpha_n\ Q_n\in X$ s.t. $B[\tilde{w},\tilde{w}]=\langle \phi ,\tilde{w}\rangle$ a través de la resolución de un sistema lineal en $\alpha_1,\ldots ,\alpha_N$?
En tal caso, creo que hay algunos problemas: de hecho, la forma bilineal $B[\cdot, \cdot]$ contiene el término $\tilde{w}^2(1)$, que a mí me parece un polinomio cuadrático en $\alpha_1,\ldots ,\alpha_N$...
