Demostrar esta desigualdad ${\pi \over 2} \le \sum_{n=0}^{\infty} {1 \over {1+n^2}} \le {\pi \over 2} + 1$

Question

$${\pi \over 2} \le \sum_{n=0}^{\infty} {1 \over {1+n^2}} \le {\pi \over 2} + 1$$

Veo que debo usar la suma de Riemann, y que $$\int_0^{\infty} {dx \over {1+x^2}} \le \sum_{n=0}^{\infty} {1 \over {1+n^2}}$$

Pero cómo explico esto exactamente, y cómo conseguir la otra mitad de la desigualdad (con ${\pi \over 2} + 1$ )?

Answer 1

Una pista: $$ \overbrace{\sum_{n=1}^\infty\frac1{1+n^2}}^{S-1}\le\overbrace{\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}\vphantom{\sum_{n=0}^\infty}}^{\pi/2}\le\overbrace{\sum_{n=0}^\infty\frac1{1+n^2}}^S $$

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$\displaystyle\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}\le\sum_{n=0}^\infty\frac1{1+n^2}$

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$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{1+n^2}\le\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$

Answer 2

Sugerencia . Para cada $n=0,1,2,\cdots$ , usted tiene, para todos $x \in [n,n+1]$ , $$ n^2+1\leq 1+x^2\leq (n+1)^2+1 $$ dando $$ \frac1{(n+1)^2+1}\leq \frac1{x^2+1}\leq \frac1{n^2+1} $$ entonces integrando con respecto a $x$ de $n$ a $n+1$ , $$ \int_n^{n+1}\frac1{(n+1)^2+1}\:dx\leq \int_n^{n+1}\frac1{x^2+1}\:dx\leq \int_n^{n+1}\frac1{n^2+1}\:dx, $$ observe que $$ \int_n^{n+1}\frac1{(n+1)^2+1}\:dx=\frac1{(n+1)^2+1},\quad \int_n^{n+1}\frac1{n^2+1}\:dx=\frac1{n^2+1} $$ dando $$ \frac1{(n+1)^2+1}\leq \int_n^{n+1}\frac1{x^2+1}\:dx\leq \frac1{n^2+1} $$ y luego sumar desde $n=0$ a $+\infty$ y con un cambio de indice a la izquierda, se puede concluir fácilmente usando $$ \int_0^\infty\frac1{x^2+1}\:dx=\lim_{x \to +\infty}\arctan x-\arctan 0=\frac{\pi}2. $$

Answer 3

Con la misma razón: $$\sum_{n=0}^{\infty} {1 \over {1+n^2}} \le \int_0^{\infty} {dx \over {1+(x-1)^2}}$$

$$\sum_{n=0}^{\infty} {1 \over {1+n^2}} \le \arctan(\infty)-\arctan(-1)=\frac{\pi}2+\frac{\pi}4 \le \frac{\pi}2+1$$

Answer 4

Sugerencia Puedes intentar utilizar la serie de Taylor de arctan evaluada en x=1

Answer 5

Una pista: $$ \sum_{n=0}^{\infty} {1 \over {1+n^2}}=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\coth(\pi) $$

$$\coth(\pi)> 1\simeq 1$$ así que $$\sum_{n=0}^{\infty} {1 \over {1+n^2}}\simeq\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}$$