Para cada $x\in X$ Consideremos la función $\chi_x\colon \mathcal{P}(X)\to \{0,1\}$ dada por la "función de pertenencia"; es decir, $\chi_x(E) = 1$ si $x\in E$ y $\chi_x(E)=0$ si $x\notin E$ .
Definir una relación en $X$ por $x\sim y$ si y sólo si $\chi_x(E_i)=\chi_y(E_i)$ para $i=1,\ldots,n$ . Es fácil ver que se trata de una relación de equivalencia.
Pregunta. Si $x\sim y$ , lo hará $\chi_x(E) = \chi_y(E)$ para todos $E\in\sigma(F)$ ?
Para ver que la respuesta es "sí", dejemos $M(x,y)\subseteq \mathcal{P}(X)$ sea el conjunto de todos los subconjuntos de $X$ en el que $\chi_x$ y $\chi_y$ estar de acuerdo. Claramente, $F\subseteq M(x,y)$ . Demostrar que $M(x,y)$ es un $\sigma$ -Álgebra.
A continuación, demuestre que podemos considerar la cuestión en $X/\sim$ en lugar de $X$ (intuitivamente: si los conjuntos en $F$ no puede distinguir entre $x$ y $y$ entonces tampoco los conjuntos de $\sigma(F)$ Así que también puedes considerar $x$ y $y$ "el mismo punto"). Este conjunto tiene como máximo $2^n$ elementos (los posibles valores de la función de pertenencia en $F$ ). ¿Qué le dice eso sobre $\sigma(F)$ ? Dado que es un subconjunto de $\mathcal{P}(X)$ tiene como máximo $2^{2^n}$ elementos.
Para comprobar que esto es lo mejor que se puede decir, intente construir un conjunto $X$ con $2^n$ y un $F$ con $n$ tal que $\sigma(F)$ es todo $\mathcal{P}(X)$ . Una pista: Toma $X=\{0,1,\ldots,2^{n}-1\}$ y piensa en la expansión binaria.
