Hay un ejercicio clásico de que tres líneas disjuntas en $\mathbb{P}^3$ están contenidos en una superficie cuádrica $Q$ . La existencia es trivial. Toda cuádrica en $\mathbb{P}^3$ está determinada por nueve coeficientes y si tres puntos distintos de una línea se encuentran en $Q$ entonces toda la línea se encuentra en $Q$ . Así obtenemos el sistema de 9 condiciones lineales sobre $Q$ . Pero, ¿por qué esta cuádrica es única? Para ser más precisos, ¿por qué estas ecuaciones lineales son linealmente independientes?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Existe exactamente una cuádrica que contiene tres líneas mutuamente disjuntas en $\mathbb P^3$ :
De hecho, se puede suponer que estas líneas son
$$L_1: x_0=x_1=0\quad \quad L_2:x_2=x_3=0\quad\quad L_3: x_0=x_2 ,\:x_1=x_3$$
y luego la única cuádrica que contiene estas tres líneas $L_i$ tiene la ecuación
$$x_0x_3-x_1x_2=0$$
Esto es fácil de comprobar escribiendo que el polinomio
$$ax_0^2+bx_0x_1+\dots+jx_3^2$$
se desvanece en el $L_i$ 's.
berto
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Líneas de desviación mutua $a,b$ y $c$ se encuentran en la misma regla, y la cuádrica es la unión de las líneas de la otra regla. Existe exactamente una línea que contiene un punto dado $p \in a$ y la intersección de $b$ y $c$ por lo que la cuádrica es única como la unión de todas las líneas que se cruzan con $a,b$ y $c$ .
user226583
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Ya tienes dos respuestas buenas; déjame dar una mala. Aquí "mala" significa "utiliza más macarrismo del necesario"; lo escribo de todos modos por si te gusta el planteamiento.
Dejemos que $Q$ sea la cuádrica que contiene nuestras tres líneas $L_1, L_2, L_3$ . Ahora, para cualquier otra cuádrica $Q' \subset \mathbf P^3$ la intersección $Q \cap Q'$ es una curva cuaternaria.
Supongamos ahora que existe otro $Q'$ que también contiene $L_1$ , $L_2$ , $L_3$ . Entonces $Q \cap Q' = L_1 \cup L_2 \cup L_3 \cup L$ para alguna otra línea $L$ .
Ahora utilizamos una maquinaria: los números de intersección. (Asumiendo que estamos trabajando sobre $\mathbf C$ se puede argumentar en términos de cohomología singular). Fijemos una de nuestras líneas, digamos $L_1$ . En $\mathbf P^3$ sabemos $L_1 \cdot Q' =2$ , etc. $Q$ sabemos que $L_1 \cdot (L_1 \cup L_2 \cup L_2 \cup L)=2$ . Pero $L_1 \cdot L_j = 0$ para $j=1,2,3$ ya que estas tres líneas se encuentran en una sentencia, y $L_1 \cdot L \leq 1$ . Esto es una contradicción.
