¿Por qué puede ' allí ser una teoría general de PDE no lineal?

Question

Lawrence escribió Evans en la discusión de la obra de los Leones fils que

no es, en verdad, no hay núcleo central la teoría no lineal de parcial ecuaciones diferenciales, como tampoco puede ser. Las fuentes de parcial las ecuaciones diferenciales son tantas física, probabilístico, geométricos, etc. - que el sujeto es una confederación de diversas subáreas, cada estudio diferentes fenómenos para los diferentes no lineales en derivadas parciales ecuación totalmente diferentes métodos.

A mí la segunda parte de Evans' cita no implica necesariamente la primera. Así que mi pregunta es: ¿por qué no puede haber un núcleo de la teoría no lineal de la PDE?

Más específicamente se trata de no me queda claro es por qué no puede ser un procedimiento mecánico (aquí me recuerdan por [muy] suelta analogía del algoritmo de Risch) para la producción de estimaciones o bien esquemas numéricos o algorítmicamente la determinación de existencia y unicidad resultados para "la mayoría" de la PDE. (Tal vez el h-principio tiene algo que decir acerca de una teoría general de los lineales de la PDE, pero no la entiendo.)

Me doy cuenta de que esta pregunta es más vago de lo que típicamente se considera adecuado para el MO, por lo que me han hecho CW en la esperanza de que va a ser rápidamente mejorado. Dada la escasez de PDE preguntas sobre MO me gustaría pensar que esto puede ser perdonado en el ínterin.

Answer 1

Estoy de acuerdo con Craig Evans, pero tal vez es demasiado fuerte como para decir "nunca" y "imposible". Aún así, hasta la fecha no hay nada ni siquiera cerca de una metodología unificada o teoría no lineal del PDE. Y para mí esto no es sorprendente. Para abundar en lo que dice Evans, el más interesante del PDE son aquellos que surgen de alguna aplicación en otra área de las matemáticas, la ciencia, o incluso fuera de la ciencia. En casi todos los casos, la mejor manera para entender y resolver el PDE, que surge de la aplicación en sí y como dicta la estructura específica de la PDE.

Así que si un PDE surge, por ejemplo, de probabilidad, no es de extrañar que probabilístico aproximaciones son a menudo muy útiles, pero, digamos, onda de agua aproximaciones a menudo no lo son.

Por otro lado, si un PDE surge a partir del estudio de las ondas en el agua, no es de extrañar que oscilatorio aproximaciones (como la serie de Fourier y se transforma) a menudo son muy útiles, pero probabilístico a menudo no son.

Muchos del PDE en muchas aplicaciones surgir del estudio de los extremos o puntos estacionarios de energía funcional y por lo tanto pueden ser estudiados mediante técnicas derivadas del cálculo de variaciones. Pero, no es de extrañar, del PDE que no están asociados con una energía funcionales no son fácilmente estudiados de esta manera.

A diferencia de otras áreas de las matemáticas, del PDE, así como las técnicas para el estudio y la solución de ellos, son mucho más estrechamente vinculados a sus aplicaciones.

Se han realizado esfuerzos para estudiar lineal y no lineal del PDE de manera más abstracta, pero el resultado hasta ahora ha sido bastante limitado.

Answer 2

En respuesta a mi comentario anterior, en el teorema de Pour-el y Richards: apareció originalmente en los Avances en las Matemáticas. 39 (1981) 215-239, titulado "La ecuación de onda con computable datos iniciales tales que su única solución es no computable." Creo que es justo decir que se obtiene la onda para simular una máquina de Turing universal, aunque con muy complicado de codificación. Sin embargo, todo esto puede ser irrelevante para la explicación de los por qué "no lineal de la PDE son difíciles" debido a que la ecuación de onda es lineal!

Answer 3

Para elaborar Steve Cazador comentario, recuerdo que la lectura de los siguientes en Terence Tao del blog: existen PDE que puede simular la mecánica Newtoniana, y la utilización de un PDE y la corrección de las condiciones iniciales es posible, en principio, para simular una arbitraria analógico máquina de Turing. Así que una de propósito general algoritmo para determinar el comportamiento cualitativo de un arbitrario de la PDE no puede existir debido a que este algoritmo puede ser usado para resolver la paralización problema.

Answer 4

Algunos de los más pensamientos al azar:

Lo más cercano que he visto a una "teoría general de los lineales del PDE" es Gromov del libro, Diferencial Parcial de las Relaciones. Él hace muchas cosas que no entiendo, pero una de las aplicaciones que él aplicó su teoría a es isométrica incrustaciones de Riemann colectores en el espacio Euclidiano o de otras dimensiones superiores de Riemann colectores (el problema que se hizo famosa por Nash).

Por otra parte, en un papel por Bryant, Griffiths, y a mí (pero en una sección escrita por los otros dos y no a mí), se muestra que, en cierto sentido, la linearización de la PDE correspondiente a la isométrica de la incrustación de un $$n-dimensional de Riemann colector en $n(n+1)/2$-dimensional en el espacio Euclidiano se ve como un genérico $n$a$$ n sistema de primer orden lineal del PDE. Yo no soy consciente de que en cualquier otro lugar donde un "genérico" del sistema de del PDE surge de forma natural.

Los resultados de este trabajo inspirado a algunos esfuerzos por Jonathan Goodman y a mí (inédito) así como Nakamura y Maeda (TAMS 313 (1989) 1-51) para extender Hormander la teoría lineal del PDE (al menos los de real tipo principal) para no lineal del PDE. (Debe tenerse en cuenta que mucho más interesante de trabajar en esta dirección fue hecho para el 2-dimensional caso, comenzando con el Tel. D. tesis de C. S. Lin)

Pero tal vez usted realmente significaba "la teoría general de los lineales del PDE que son elípticas, hiperbólicas o parabólico" y no se realmente que todo lo abarca "teoría general de los lineales del PDE"? Hay demasiada basura en el segundo.

Answer 5

Creo que hay algo que se puede llamar una teoría general de las ecuaciones en derivadas parciales. Comenzó ya hace mucho tiempo con Meray, Riquier, Janet, Elie Cartan. No es un estudio importante artículo por Donald Spencer: Sobredeterminada sistemas lineales de ecuaciones diferenciales parciales , Bull. Amer. De matemáticas. Soc. 75 (1969), 179-239. véase también el reciente libro de Seiler: Involución:El Formal de la Teoría de Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones en Álgebra computacional, springer, 2010. Este libro contiene muchas referencias a este tema.

Es un poco extraño, ¿por qué esta línea de investigación no es muy conocido.