¿Por qué no mi solución particular a $y''-y'-2y=2e^{-t}$ mediante variación de parámetros coincide con por coeficientes indeterminados?

Question

La solución particular a $y''-y'-2y=2e^{-t}$ encontrado por el método de coeficientes indeterminados es $Y(t)=-\frac{2}{3}te^{-t}$

Sin embargo, cuando encuentre la solución particular a través del método de variación de parámetros puedo obtener una expresión diferente. Yo realmente apreciaría que alguien señale el lugar donde mis cálculos ir mal.

Primero hay que encontrar el conjunto fundamental de soluciones para el análogo homogénea de la ecuación de $y''-y'-2y=0$ se $y_1(t)=e^{-t}$$y_2(t)=e^{2t}$. Entonces yo uso estos para encontrar el Wronskian $W(y_1,y_2)(t)=3e^t$. Luego me conecte estos valores en la siguiente ecuación para obtener la solución particular:

$$Y(t)=-y_1(t)\int \frac{y_2(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}dt+y_2(t)\int\frac{y_1(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}dt$$ Donde $g(t)=2e^{-t}$ es el no-homogéneo plazo.

$$Y(t)=-e^{-t}\int\frac{e^{2t}2e^{-t}}{3e^t}dt+e^{2t}\int\frac{e^{-t}2e^{-t}}{3e^t}dt$$ $$=-e^{-t}\int\frac{2e^t}{3e^t}dt+e^{2t}\int\frac{2e^{-2t}}{3e^t}dt$$ $$=-e^{-t}\int\frac23dt+e^{2t}\int\frac23e^{-3t}dt$$ Por último dar: $$Y(t)=-\frac23te^{-t}-\frac29e^{-t}$$

Así que ¿por qué esta solución coincide con la obtenida a partir de coeficientes indeterminados?

Answer 1

Cuenta que usted tiene como parte de la solución homogénea $c_1 e^{-t}$.

$-\dfrac29e^{-t}$ Obtiene a y como $c_1 e^{-t}$.

Después de todo, el $-\dfrac 29$ es también sólo una constante.