Aproximado de la probabilidad

Question

Un inmortal caracol se encuentra en un extremo de una perfecta banda de goma con una longitud de 1km. Cada día, viaja a 10 cm en una dirección al azar, hacia delante o hacia atrás en la banda de goma. Cada noche, la banda de goma se estira uniformemente por 1km. Como ejemplo, durante el primer día el caracol podría avanzar a x=10 cm, luego la banda de goma se estira por un factor de 2, por lo que el caracol está ahora en x=20 cm en una banda de caucho de 2 km.

La pregunta: Aproximado de la probabilidad de alcanzar el otro lado en algún momento (mejor aproximaciones son obviamente preferidos, pero los límites son aceptables siempre y cuando sean encontrados por hacer algo interesante)

Answer 1

Con la interpretación de doblaje, como ha escrito, el caracol nunca puede llegar al final:

Arreglo final en $1$, desde $0$

$$X_0=0$$

$$\mbox{suppose} \ \forall n \ X_n=X_{n-1}+2^{1-n} 10^{-5} $$

Este es un caso de $0$de % de probabilidad, pero moviéndose hacia delante cada vez que es claramente el mejor de los casos para llegar al final de todos modos. En este caso:

$$\lim_{n \rightarrow \infty}X_n=\frac{2}{10^5}\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = \frac{2}{10^5} \ll 1$$

Answer 2

No creo que el caracol se llega a la final en tiempo finito, pero se puede llegar a la final en el límite, Asumiendo el caso extremo, el caracol se mueve siempre hacia adelante, en el tiempo 0, el caracol se mueve a 10 cm a la derecha, y está a 10 cm en un 1km de la banda. La banda entonces se estira, por lo que el caracol está ahora en 20 cm a 2 km de la banda. El caracol se mueve 10cm de nuevo y ahora está a 30 cm a 2 km de la banda, pero la banda se estira y el caracol es de 45 cm en un 3km de la banda.

Deje $i$ ser un 'tiempo'. Lo que tenemos aquí es que el caracol se mueve $\frac{10}{i\cdot 100,000}$ de las bandas de longitud en el tiempo de $n$, después de que la banda se estira por $\frac{i+1}{i}$, lo $\textrm{Pos}(n)$, los caracoles a la posición en el momento $n$ (más precisamente, antes de que el tiempo $n+1$: después de movimiento y expansión) debe ser: $$ \begin{align} \textrm{Pos}(n) &= \sum_{i=1}^n \frac{i+1}{i}\frac{10}{i\cdot 100,000}\\ \textrm{Pos}(n) &= \frac{1}{10,000}\sum_{i=1}^n \frac{i+1}{i^2} \end{align} $$ Básicamente, tenemos una serie armónica aquí, que no divergen, pero sólo en el infinito, lo que significa que el caracol se llega a la final con probabilidad 1, pero nunca va a llegar en cualquier finito de observación.

Una vez que se mueve hacia atrás, se lo toma en las propiedades de un 1-dimensional de paseo aleatorio, que, dado el tiempo infinito, creo que llegue a la final, pero dado tiempo finito no, ya que incluso avanzando siempre no.

Editar Ross es correcta, $\textrm{Pos}(n)$ es la fracción de la banda en la que el caracol se encuentra, por lo que una vez $H_n$ es mayor de 10.000, el caracol llegará a la final de la banda, que es de alrededor de $e^{10000}$ o un muy grande número. Aún no estoy seguro de si alguna vez llega en tiempo finito cuando hay probabilidad positiva para mover hacia atrás.