esquema quasicompact son Unión finita de esquema afín

Question

Este es un problema del libro de Liu. Muestran que un esquema $X$ cuasi-compacto si y solamente si es una Unión finita de sistemas afines. Si el esquema es quasicompact entonces obviamente es una Unión finita de regímenes afines. ¿Cómo demuestran lo contrario? ¿Necesitamos que los esquemas afines deben ser abiertos en $X$?

Answer 1

Creo que Liu significado afín a abrir subschemes, pero al final no importa (al menos aquí). Si un espacio topológico es una unión finita de cuasi-compacto subespacios, a continuación, de nuevo, es cuasi-compacto. En particular, un esquema que es una unión finita (por supuesto, uno de los medios subyacente topológico, espacio ...) de afín a sistemas, entonces tiene que ser cuasi-compacto. Por el contrario, cuasi-sistema compacto es una unión finita de afín a abrir subschemes, ya que podemos encontrar un número finito de subcovering de cualquier afín abrir la cubierta.