Si $f(x)$ es integrable de Riemann en $[a,b]$ y, a continuación, cómo demostrar $$\int_{a}^{b} f(x_1) \, dx_1 \int_{a}^{x_1}f(x_2) \, dx_2 \cdots \int_{a}^{x_{n-1}}f(x_n) \, dx_n={1\over n!} \left[\int_a^b f(x) \, dx \right]^n$$
¡Realmente no sé cómo resolverlo! Prefiero usar la inducción matemática, pero no funciona. ¿Puede alguien ayudarme a resolverlo? Se lo agradeceré mucho.
Aquí hay un cálculo tedioso:
Dejemos que $I=[a,b]$ y Sea $S = \{ x \in I^n \mid x_1 < \cdots < x_n \}$ .
En lo que sigue, dejemos que $\sigma$ denotan una permutación de $\{1,\ldots,n\}$ .
Dejemos que $S_\sigma = \{ x \in I^n \mid (x_{\sigma_1},\ldots,x_{\sigma_n}) \in S \}$ y observe que el $S_\sigma$ son disjuntos.
No es difícil ver que la función $x_n \mapsto 1_{S_\sigma}((x_1,\ldots,x_n))$ es integrable de Riemann.
Dejemos que $\phi(x) = f(x_1)\cdot \cdot \cdot f(x_n)$ para $x \in I^n$ y observe que $\phi((x_{\sigma_1},\ldots,x_{\sigma_n})) = \phi(x)$ .
Tenga en cuenta que $\int_a^b \int_a^{x_1} \cdots \int_a^{x_{n-1}} \phi(x) \, dx_1 \cdots d x_n = \int_a^b \cdots \int_a^b \phi(x) 1_S(x)\,dx_1 \cdots d x_n $ y que $\int_a^b \cdots \int_a^b \phi(x) 1_S(x)\,dx_1 \cdots d x_n = \int_a^b \cdots \int_a^b \phi(x) 1_{S_\sigma}(x)\,dx_1 \cdots d x_n $ para todas las permutaciones $\sigma$ .
Por lo tanto, $\int_a^b \cdots \int_a^b \phi(x) 1_S(x) \, dx_1 \cdots d x_n = {1 \over n!} \int_a^b \cdots \int_a^b \phi(x) \, dx_1 \cdots d x_n $ .
Desde $(\int_a^b f(t) \, dt )^n = \int_a^b \cdots \int_a^b \phi(x) \, dx_1 \cdots d x_n$ vemos que $\int_a^b \int_a^{x_1} \cdots \int_a^{x_{n-1}} \phi(x) \, dx_1 \cdots d x_n = {1 \over n!}(\int_a^b f(t) \, dt )^n$ .
Nota : No he demostrado que las distintas integrales existan, sin embargo basta con observar que si $g,h$ son integrables de Riemann, entonces $g \cdot h$ es integrable de Riemann. Además, si $g$ es integrable de Riemann, la función $t \mapsto \int_a^t g(x) dx$ es continua y, por tanto, integrable de Riemann.
Nota: He utilizado inadvertidamente Fubini arriba. Para justificar esto necesito un resultado que es que si $(x,y) \mapsto f(x,y)$ es integrable en $A\times B$ y $x \mapsto \int_B f(x,y)dy$ , $y \mapsto \int_A f(x,y)dy$ son integrables en $A$ , $B$ respectivamente, entonces se pueden intercambiar las integrales iteradas. Además, tendría que utilizar el hecho de que cualquier permutación puede escribirse como la composición de un número finito de intercambios por pares. (Esto sólo es necesario con la integral de Riemann, por supuesto).
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