¿Por qué no se elimina $\hbar\omega/2$ de la energía del oscilador armónico cuántico?

Question

Dado que la energía siempre se puede cambiar por un valor constante sin cambiar nada, ¿por qué los libros de mecánica cuántica se molestan en llevar el término $\hbar\omega/2$?

Para ser precisos, ¿por qué escribimos $H = \hbar\omega(n + \frac{1}{2})$ en lugar de simplemente $H = \hbar\omega n$.

¿Hay alguna motivación para no desechar inmediatamente el término?

Answer 1

Depende de lo que estés haciendo, y de hecho la mayor parte de la literatura de óptica cuántica desestima el término ya que no contribuye a la dinámica. Sin embargo, es importante que los estudiantes principiantes formen una intuición de cómo y dónde entran las energías de punto cero, y por qué son necesarias.

Echa un vistazo a las autofunciones del oscilador armónico, en el espacio de posición:

Observa, en particular, el comportamiento en los puntos de giro clásicos, donde las líneas base cruzan el potencial. Estos son los puntos de inflexión de las autofunciones, donde el comportamiento oscilatorio se convierte en decaimiento exponencial. Incluso para el estado fundamental, estos dos puntos deben estar separados espacialmente, para permitir que el decaimiento exponencial a la izquierda se transforme en una función decreciente y se ajuste al decaimiento exponencial a la derecha, y para que estos dos puntos estén separados la energía del estado fundamental necesita estar separada del fondo del pozo. Esta es la esencia de la energía de punto cero, y hasta que interiorices todas las implicaciones de 'permitido clásicamente' y 'prohibido clásicamente' en la función de onda, es mejor recordar explícitamente que existe.

Pero una vez que hayas hecho eso, hay poco sentido en llevar ese término contigo. Si profundizas un poco en la literatura, verás que la gente comienza a descartar el término en contextos donde no es importante. Algunos ejemplos:

• El modelo de Jaynes-Cummings,

• El modelo de Dicke (por ejemplo, ecuación 6),

• El modelo de Jaynes-Cummings-Hubbard,

y muchos, muchos otros. Para tener una buena idea de lo que la gente realmente usa en la literatura, recomendaría buscar 'oscilador armónico cuántico' en el arXiv. Esto mostrará muchos artículos que no entenderás, pero no es tan complicado descartar los que no tienen hamiltonianos de OHA, y distinguir los que usan hamiltonianos de la forma $\tfrac1{2m}p^2+\tfrac12 m\omega^2 x^2$ de los que usan la forma $\hbar\omega a^\dagger a$.

También vale la pena mencionar que no siempre puedes deshacerte del término. En teoría cuántica de campos en particular, a menudo te enfrentas a un sistema que es una colección infinita de osciladores armónicos, para los cuales la energía del vacío debe ser tratada con cuidado. En otra rama de eso, las energías de punto cero pueden tener efectos medibles, por ejemplo a través del efecto Casimir, en cuyo caso obviamente no puedes ignorarlo.

Answer 2

Considera un potencial, que aproximadamente puede ser descrito por dos osciladores armónicos con diferentes frecuencias base, por ejemplo (trabajando en unidades adimensionales) $$U=1-e^{-(x-4)^2}-e^{-\left(\frac{x+4}2\right)^2}$$

Se verá así

Ahora veamos los dos estados de energía más bajos del Hamiltoniano

$$H=-\frac1m \frac{\partial^2}{\partial x^2}+U$$

tomando para concreción $m=50$, para que los estados de energía más bajos sean suficientemente profundos. Ahora, en el origen del oscilador a la izquierda se puede mostrar que es

$$U_L=\frac14(x+4)^2+O((x+4)^4)$$ y para el de la derecha tendremos $$U_R=(x-4)^2+O((x-4)^4)$$

Si los dos niveles más bajos son lo suficientemente profundos y sus funciones de onda no se superponen, entonces podemos aproximarnos a ellos como estados propios de cada uno de los osciladores armónicos $U_L$ y $U_R$. Mira cómo se ven estos dos estados:

Quisiste eliminar el cero de la energía total desplazando el potencial. Por supuesto, podrías hacer esto para un solo oscilador. Pero ahora tienes que seleccionar cuál usar. Y si seleccionas uno, todavía obtendrás energía de punto cero para otro.

Por lo tanto, este truco no es realmente útil. Solo intenta ocultar una característica esencial del oscilador armónico cuántico y de los estados cuánticos en general: en los estados ligados hay un límite inferior en la energía, que no puede ser superado por el sistema cuántico, aunque clásicamente la energía podría ser más baja.

La energía de punto cero es la diferencia entre la energía total mínima y el ínfimo de la energía potencial. No se puede "eliminar" desplazando la energía potencial.

Answer 3

Estoy en desacuerdo en que :

Dado que la energía siempre se puede cambiar por un valor constante sin cambiar nada,

Tal vez estés pensando en la energía potencial clásica, pero la masa de un protón es fija, por ejemplo, no se puede cambiar por un valor constante, y en reposo $E=mc^2$. Esta afirmación no es general y solo puede ser cierta para las soluciones de las ecuaciones no relativistas.

Edit después de los comentarios:

Después de los comentarios me di cuenta de que la pregunta se trata de un cambio en el cero de energía, que no afectaría los niveles de energía pero el eje y del potencial, que adquiriría un punto inferior negativo, de modo que el primer nivel de energía esté en 0.

Este cambio solo introduciría un factor de fase global (ver respuesta de dextercioby) en las soluciones dependientes del tiempo.

El oscilador armónico es una solución cuántica mecánica muy útil porque todos los potenciales simétricos tienen como primer término en su serie de expansión el x**2. Por lo tanto, se utiliza extensamente en la mayoría de los problemas de muchos cuerpos en química, y no solo, para modelar los diferentes potenciales colectivos que surgen en las redes cristalinas.

La razón entonces es por simplicidad y estética, para no introducir una complejidad adicional en la forma del potencial para que la ecuación genérica sea descrita por la forma funcional más simple del potencial, x**2.