suma de funciones holomorphic

Question

¿Alguien sabe cómo probar lo siguiente?

Supongamos que $f,g$ son funciones holomorphic en un no-vacío abierto conectado conjunto $\Omega \subset \mathbb{C}$ y que $|f|^2+ |g|^2$ es constante en $\Omega$. Mostrar que $f$ y son constantes en $g$ $\Omega$.

Answer 1

Tenga en cuenta (utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann) que $\Delta |f|^2 = 4 |f'|^2$. Si $|f|^2 + |g|^2$ es constante, entonces $0 = \Delta( |f|^2 + |g|^2) = 4 (|f'|^2 + |g'|^2)$ % que $f'$y $g'$ son $0$ y así $f$ y $g$ son constantes. Por otra parte, esto se generaliza a cualquier número de funciones.