Evaluación de $\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x^2}-e^{-x}}{x}dx $

Question

Estoy trabajando en esta integral impropia,

$$\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x^2}-e^{-x}}{x}dx$$

Primero, separo la integral en dos partes, tengo

$$\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x^2}}{x}dx -\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}}{x}dx=I_1+I_2$$

Sé que $I_2$ puede utilizar la integral doble,

$$ I_2=\int_0^\infty \int _1^\infty e^{-tx} dt dx = \int _1^\infty \frac{1}{t}dt $$

$$ \int_0^\infty (\frac{e^{-tx}}{-x}) \Bigg|_{1}^\infty dx = \int_1^\infty \frac{1}{t}dt =\ln t \Bigg|_{1}^{\infty}=\infty$$

Pero no sé cómo hacer $I_1$ ¿alguien puede darme un acierto o sugerencia?

Gracias.

Answer 1

sugerencia : $\dfrac{e^{-x^2}}{x} = \dfrac{1}{x^2}\cdot xe^{-x^2}$ . Sea $u = x^2$

Answer 2

Hay que tener cierto cuidado al intentar evaluar esta integral. En primer lugar, considere las integrales parciales

$$\int_a^b \frac{e^{-x^2} - e^{-x}}{x}\, dx \quad (b > a > 0).$$

Tenemos

$$\int_a^b \frac{e^{-x^2} - e^{-x}}{x}\, dx = \int_a^b \frac{e^{-x^2}}{x}\, dx - \int_a^b \frac{e^{-x}}{x}\, dx = \frac{1}{2}\int_{a^2}^{b^2} \frac{e^{-u}}{u}\, du - \int_a^b \frac{e^{-x}}{x}\, dx,$$

utilizando la sustitución $u = x^2$ . Por integración por partes,

$$\int_a^b \frac{e^{-x}}{x}\, dx = e^{-b}\ln b - e^{-a}\ln a + \int_a^b e^{-x}\ln x\, dx$$

y

$$\frac{1}{2}\int_{a^2}^{b^2} \frac{e^{-u}}{u}\, du = e^{-b^2}\ln b - e^{-a^2}\ln a + \frac{1}{2}\int_{a^2}^{b^2} e^{-x}\ln x\, dx.$$

Por lo tanto,

\begin{align}&\int_a^b \frac{e^{-x^2} - e^{-x}}{x}\, dx\\ & = (e^{-b^2} - e^{-b})\ln b - (e^{-a^2} - e^{-a})\ln a + \frac{1}{2}\int_{a^2}^{b^2} e^{-x}\ln x\, dx - \int_a^b e^{-x}\ln x\, dx.\\ \end{align}

Desde $(e^{-x^2} - e^{-x})\ln x$ tiende a $0$ como $x\to 0^+$ y como $x\to \infty$ tomando el límite como $a \to 0^+$ y $b\to \infty$ resultados en

$$\int_0^\infty \frac{e^{-x^2} - e^{-x}}{x}\, dx = -\frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-x}\ln x\, dx = \frac{1}{2}\gamma,$$

donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni.