¿La transformada de Fourier de una "función peiine" es una función peiine?

Question

Sea $f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(x - n)$, donde $\delta$ es la función delta de Dirac. Esta función $f$ (una "función peine") es importante en el procesamiento de señales porque muestrear de manera uniforme una función $g$ puede ser visto como multiplicar $g$ punto a punto con $f$. Esta idea es el primer paso para entender cómo aproximar la transformada de Fourier de $g$, dadas muestras espaciadas uniformemente de $g$. El siguiente paso es notar que $\hat{gf} = \hat{g}*\hat{f}$, donde $\hat{f}$ es la transformada de Fourier de $f$ y $*$ denota convolución.

¿Es cierto que $\hat f$ también es una función peine? Si esa afirmación no es del todo correcta, ¿cuál es la afirmación correcta?

Me gustaría ver: 1) una derivación informal, intuitiva, no rigurosa pero fácil de la transformada de Fourier de $f$. 2) Una versión rigurosa del mismo cálculo. (¿Cómo definirías $f$ rigurosamente, es una distribución?)

(También estaría interesado en recomendaciones de libros de matemáticas que cubran este tema, incluido el teorema de muestreo de Nyquist, incluso si es solo un ejercicio o una serie de ejercicios en un libro de análisis.)

Answer 1

Suponga una función periódica arbitraria $f(t)$ con periodo $T$. Considere la representación de la serie de Fourier de $f(t)$, en la que $\omega_0=\frac{2\pi}{T}$: $$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{i n \omega_0 t}$$ Tome la transformada de Fourier de los lados: \begin{align} \mathcal{F}\{f(t)\}=&\mathcal{F}\{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{i n \omega_0 t}\}\\ =&\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\mathcal{F}\{ e^{i n \omega_0 t}\}\\ F(\omega)=&2\pi\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\delta(\omega-n\omega_0) \end{align> Esto significa que la transformada de Fourier de una señal periódica es un tren de impulsos donde las amplitudes de los impulsos son $2\pi$ veces los coeficientes de Fourier de esa señal.

Con $f(t)=\delta(t)$, los coeficientes de serie de Fourier son $c_n=\frac{1}{T}$ para todo $n$.

Por lo tanto, $$\mathcal{F}\{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)\}=\frac{2\pi}{T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-n\omega_0)$$ o en notación de peine: $$\boxed{\mathcal{F}\{\text{comb}_T(t)\}=\omega_0\ \text{comb}_{\omega_0}(\omega)}$$

donde $$\text{comb}_A(x)\triangleq\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(x-nA)$$

Answer 2

Explicación intuitiva

El Peine es una suma de Delta de Dirac desplazada en el tiempo.

La Transformada de Fourier de una Delta de Dirac se conoce que es una constante.

La Transformada de Fourier de una Función desplazada en el tiempo se conoce que es la Transformada de Fourier de la función multiplicada por un factor exponencial complejo que es $\exp(-i 2 \pi f T)$

Simplemente aplica estos puntos a la Función Peine considerada como una suma de Delta de Dirac desplazada en el tiempo con distancia $kT$ y obtendrás una suma de funciones exponenciales desplazadas en frecuencia, cada una de las cuales multiplicada por una constante.

Finalmente usa la Fórmula de Euler para considerar exponenciales complejas como una función sinusoidal periódica y observa que solo tienes interferencia constructiva en frecuencias que son múltiplos enteros de $\frac{1}{T}$.

Answer 3

Salvo constantes y normalizaciones, este peine de Dirac es su propia transformada de Fourier: la afirmación de esto evaluada en (por ejemplo) una función de Schwartz, $\sum_{n\in \mathbb Z} f(n) \;=\; \sum_{n\in\mathbb Z} \widehat{f}(n)$, es la fórmula de suma de Poisson.