Confusión sobre la cohomología de Cech

Question

Según la página 158 de las notas de Andreas Gathmann sobre Geometría Algebraica, http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/main.pdf si tenemos alguna curva del plano proyectivo $X$ definida por una ecuación homogénea de grado $d$ con coordenadas $x_0,x_1,x_2$ que no contiene el punto $(0:0:1)$ , afirma que $$H^1(X,\mathcal{O}_X)=\left\{\dfrac{x_2^i}{x_0^jx_1^k}:0\le i \le d-1 , j > 0,k > 0, \textrm{ and }i=j+k\right\}$$ y que el género aritmético es $\displaystyle{\dfrac{(d-1)(d-2)}{2}}$ .

En general, ¿cómo se puede encontrar $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ si $X$ no está definida por la ecuación de una curva (por ejemplo, digamos que quiero encontrar $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ para el modelo proyectivo suave de la curva afín singular $y^2=x^4+x^5$ )?

Si dejamos que $\bar{X}$ sea el modelo proyectivo suave de $X$ ¿podemos utilizar $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ para encontrar una base para $H^1(\bar{X},\mathcal{O}_\bar{X})$ ? Sospecho que dicha base debe ser un subconjunto de la base de $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ pero no estoy muy seguro.

Answer 1

En cierto sentido $H^i(X, \mathcal O_X)$ sólo calcula la "información aritmética" sobre $X$ lo que significa que no le importa si la curva es singular (incluso reducible). Si $X$ es una hipersuperficie proyectiva (o una curva), lo único que importa es el grado de la ecuación definitoria. En cierto sentido, $H^i(X,\mathcal O_X)$ capta la combinatoria de las ecuaciones definitorias.

Lo que preguntas es cómo calcular $H^1(X, \mathcal O_X)$ cuando $X$ es la desingularización de una curva singular. En general es difícil utilizar la cohomología de Cech para ello, pero existen fórmulas que relacionan el geni de las curvas singulares con sus resoluciones. Dependen del número de singularidades y de qué tipo son.

En este caso, la homogeneización de la ecuación es $z^3y^2=x^4z+x^5$ . Utilizando el criterio jacobiano, encontramos que la proyectivización tiene dos singularidades. Una en el origen y otra en el infinito.

Entonces hay una fórmula que dice que $$ g = \frac{(d-1)(d-2)}{2} - \delta_0 -\delta_\infty, $$ donde el $\delta_i$ son los " invariantes delta ", véase esta respuesta de MathOverflow para más detalles. Lo que tenemos que saber es que $\mu=2 \delta-b+1$ , donde $\mu$ es el número de Milnor de la singularidad y $b$ es el número de ramas. Esta fórmula se conoce como fórmula de Milnor-Jung.

El número de Milnor puede calcularse mediante la fórmula $$ \dim_{\mathbb C} \mathbb C[[x,y]]/(f_x,f_y), $$ donde $f_x,f_y$ son los parciales de la ecuación local definitoria. El número $b$ de ramas es el número de componentes irreducibles de $f$ en la finalización $\mathbb C[[x,y]]$ .

Así que vamos a calcular estos números para las dos singularidades. Para la singularidad en el origen, la ecuación local es $y^2-x^4-x^5=0$ . Pero fíjese que $y^2=x^4(1+x)$ . Cerca del origen, el término $1+x$ es una unidad, por lo que en el anillo local podemos dividir por $1+x$ . Por lo tanto, la singularidad se ve localmente como $y^2-x^4=(y-x^2)(y+x^2)$ . Desde $f_x=-4x^3$ y $f_y=2y$ el número de Milnor se ve fácilmente que es $3$ . Por la factorización, el número de ramas es $2$ . Por lo tanto, por la fórmula de Milnor-Jung, tenemos $3=2\delta_0-2+1$ para que $\delta_0=2$ .

Para calcular $\delta_\infty$ utilizamos la ecuación $z^3=x^4z+x^5$ . Esto es mucho más difícil de hacer directamente, por lo que he utilizado otra definición de $\delta$ en cambio: es la longitud del módulo $\mathcal O_{\overline X,0}/\mathcal O_{X,0}$ donde el primer anillo es el anillo local de la normalización de la curva en la singularidad. Se puede calcular con Macaulay2 encontrando el cierre integral. Entonces se cuenta qué elementos de la base provienen del anillo singular. En este caso, encontramos que el grado es $\delta_\infty = 4$ .

Por lo tanto, $g=6-2-4=0$ (como se puede confirmar utilizando Maple, por ejemplo).

Answer 2

Dejemos que $\overline{X}$ sea la normalización de $X$ y que $\pi: \overline{X} \to X$ sea el mapa natural. Este mapa es finito, por lo tanto propio y afín, y así $\pi_*\mathcal O_{\overline{X}}$ es una gavilla coherente de álgebras sobre $X$ que denotaré por $\mathcal A$ . La teoría general de los morfismos afines muestra que podemos recuperar $\overline{X}$ como el Spec relativo de $\mathcal A$ en $X$ y también que $H^1(\overline{X}, \mathcal O_{\overline{X}}) = H^1(X,\mathcal A)$ .

Por lo tanto, podemos limitar la atención a $\mathcal A$ . De forma algo más intrínseca, las secciones de $\mathcal A$ sobre un subconjunto abierto $U$ de $X$ será la normalización de $\mathcal O_X(U)$ en $K(X)$ .

Existe una breve secuencia exacta $0 \to \mathcal O_X \to \mathcal A \to \Delta \to 0,$ donde $\Delta$ es una suma de gavillas de rascacielos que viven en los distintos puntos singulares de $X$ . En particular, la cohomología superior de $\Delta$ desaparece, por lo que existe una suryección $$H^1(X,\mathcal{O}_X) \to H^1(X,\mathcal A)$$ (en lugar de una inclusión en sentido contrario, como habías adivinado), cuyo núcleo es igual a $H^0(\Delta)$ .

Informática $\Delta$ es un problema local alrededor de los puntos singulares, y la longitud del rascacielos en un punto singular $P$ depende de la gravedad de la singularidad en $P$ es.