¿Cómo funciona esta adición de vector en la geometría?

Question

Vi la aceptó responder a la pregunta: la Búsqueda de un punto a lo largo de una línea a una cierta distancia de otro punto!

No estoy recibiendo de cómo utilizar realmente para encontrar las coordenadas del nuevo punto a una distancia dada. Esto es debido a que estoy confundido entre cómo traducir a/desde el sistema Cartesiano y el sistema de vector. Así que por favor me explique el siguiente al caminar a través de la solución propuesta en la respuesta con los siguientes datos de ejemplo.

Supongamos que tengo dos puntos de $(0,0)$ $(1,1)$ y quiero encontrar un punto a una distancia que es de 3/5 de la distancia total entre los puntos (es decir, $\frac{3}{5}\sqrt{2})$ desde el punto de $(0,0)$, y se encuentra en el segmento.

¿Cómo puedo usar los vectores mencionados en la solución que se dio allí para encontrar la necesaria coordenadas?

Editar: Precisamente hablando, Lo que sí espero es la explicación de:

1. ¿Cuál es el vector de $\mathbf v$ no si $(x_1,y_1) = (1,1)$ $(x_0,y_0) = (0,0)$

2. ¿Cuál es el vector normalizado $d\mathbf u$?

3. ¿Cómo puedo realizar la adición $(x_0,y_0) + d\mathbf u$?

Answer 1

Tenemos $\mathbf v = (x_1,y_1)-(x_0,y_0) = (1,1)-(0,0)=(1,1)$. Tenga en cuenta que su longitud (o norma) es: $ || \mathbf v || = \sqrt{v_1^2+v_2^2} = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} $$ por lo tanto, normalizar el vector de rendimientos: $ \mathbf u = v \frac{\mathbf} {|| \mathbf v ||} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1) $$ ya que queremos que el punto que está a una distancia que es las tres quintas partes del total de la distancia entre dos puntos, tenemos $d=\dfrac{3}{5}||\mathbf v||=\dfrac{3\sqrt{2}}{5}$. Por lo tanto, es el punto deseado: $$\begin{align*} (x_0,y_0)+d\mathbf u &= (0,0)+\dfrac{3\sqrt{2}}{5}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)\right)\\ &= (0,0)+\dfrac{3}{5}(1,1) \\ &= (0,0)+(3/5,3/5)\\ &=\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{3}{5}\right) \end{align*} $$

Answer 2

Todos los puntos entre el $(0,0)$ $(1,1)$ se describe como una combinación convexa de ellos. Que es:

$$ (x, y) = (0,0)\alpha + (1,1)(1-\alpha)$$

donde $0 \leq \alpha \leq 1$. Si $\alpha = 0$,$(x,y) = (1,1)$, mientras que si $\alpha = 1$,$(x,y) = (0,0)$.

Podemos volver a escribir la fórmula de la siguiente manera:

$$(x,y) = (1,1)(1-\alpha)$$

Usted quiere encontrar un punto de $(x,y)$ tal que

$$ \| (x,y) - (0,0) \| = \frac{3 \sqrt{2}}{5} $$

Así que...

$$ \| (x,y) - (0,0) \| = \| (x,y) \| = \| (1,1)(1-\alpha) \| = \sqrt{(1-\alpha)^2 + (1-\alpha)^2} = $$ $$ = \sqrt{2(1-\alpha)^2} = \frac{3 \sqrt{2}}{5} $$

El cuadrado ambos plazo, obtenemos $$ 2(1-\alpha)^2 = \frac{9 \cdot 2}{25} $$ $$ 25(1-\alpha)^2 = 9 $$ $$ 25\alpha^2 -50 \alpha + 16 = 0 $$

Soluciones de $\alpha = \frac{2}{5}$$\alpha = \frac{8}{5}$. Desde $0 \leq \alpha \leq 1$, $\alpha = \frac{2}{5}$ y por lo tanto

$$(x,y) = (1,1)(1 - \frac{2}{5}) = (\frac{3}{5}, \frac{3}{5})$$ es el punto que usted está buscando.

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$u$ es el vector normalizado obtenido como $u = (1,1) - (0,0)$, mientras que $d$ es una distancia. Sin embargo, mi solución no necesita de este vector.