Condiciones del Teorema de Lusin

Question

Teorema de Lusin (enunciado por Rudin):

Dejemos que $X$ sea un espacio de Hausdorff localmente compacto y sea $$ be a regular Borel measure on $ X $ such that $ (K)< $ for every compact $ KX $. Suppose $ f $ is a complex measurable function on $ X $, $ (A)< $, $ f(x)=0 $ if $ xX \N y A $, and $ >0 $. Then there exists a continuous complex function $ g $ on $ X$ con soporte compacto tal que

$(x:f(x)g(x))<$ .

Pero no encuentro en la demostración en ningún sitio un uso del hecho de que la medida es finita para conjuntos compactos. ¿Es una condición necesaria? ¿Hay algún contraejemplo?

Answer 1

Se puede demostrar que cualquier $\sigma$ -medida regular finita en un espacio LCH debe tener $\mu(K) < \infty$ para $K$ compacto. (Ejercicio: Demuéstralo.) Así que tendremos que usar una medida que no sea $\sigma$ -finito. Modificación de disonancia ejemplo, dejemos que $X = \mathbb{R}$ y $\mu(A) = \infty$ para todos los no vacíos $A$ que creo que es una medida regular (bastante trivial), y tomar $f$ para ser cualquier función discontinua.

La prueba de Rudin de Lusin contiene la siguiente línea:

Fijar un conjunto abierto $V$ tal que $A \subset V$ y $\bar{V}$ es compacto. Hay conjuntos compactos $K_n$ y conjuntos abiertos $V_n$ tal que $K_n \subset T_n \subset V_n \subset V$ y $\mu(V_n - K_n) < 2^{-n} \epsilon$ .

Esto invoca el Teorema 2.17 (a) (parafraseado):

Para cualquier conjunto medible $E$ y $\epsilon > 0$ existe $F$ cerrado y $V$ abrir con $F \subset E \subset V$ y $\mu(V-F) < \epsilon$ .

La prueba de 2.17 utiliza la suposición de que $\mu$ es finito en conjuntos compactos en la segunda línea, cuando afirma que $\mu(K_n \cap E) < \infty$ .

Además, es fácil ver que todas las afirmaciones citadas de Rudin fallan utilizando el ejemplo que he dado.

Answer 2

Prueba del Teorema de Lusin: Sea f una función medible de valor real sobre [a; b] y sea > 0. Para cada n, existe una función continua hn sobre [a; b] tal que mfx : jhn(x)