¿Si volar una variedad compleja a lo largo de una subvariedad, usted me puede dar una imagen a tener en cuenta para que el manómetro de saltar? También me puedes decir ¿por qué esta es la imagen de la derecha?
Respuestas
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El siguiente es más o menos la descripción se puede encontrar en Griffiths y Harris Principios de la Geometría Algebraica en la página 182.
Para el caso de un punto en un complejo colector, la idea es tener un local del barrio homeomórficos a un disco de $\Delta$ $\mathbb{C}^n$ centrada en 0, y tomar la proyección de $\pi: \tilde{\Delta} \longrightarrow \Delta$ donde $\tilde{\Delta} = \{(z,l) | z_il_j = z_j l_i \,\forall i,j \}\subset \mathbb{C}^n\times \mathbb{P}^{n-1}$ donde$z \in \Delta$$l\in \mathbb{P}^{n-1}$. (Si tiene problemas para ver este como un colector, tal vez recuerde que hay una incrustación de $\mathbb{P}^n\times \mathbb{P}^m$ a $\mathbb{P}^{(n+1)(m+1)-1}$ el trabajo y la definición de las ecuaciones en ese espacio).
Lejos de $z = 0$ la proyección de $(z,l) \mapsto z$ va a ser uno-a-uno. En realidad es un homeomorphism.
Sin embargo en $z=0$ vemos que $\pi^{-1}(0) = \{ (0,l)\} \ \cong \mathbb{P}^{n-1}$ desde el curso de $0=0$. Ahora, el truco es entender cómo las líneas a través de $z=0$ $\Delta$ levantar a$\tilde{\Delta}$$z=0$. Para ello, tomar el límite de la preimagen de un punto de viajar a lo largo de una línea en $\Delta$ hacia $0$. Usted verá que va a $(0,l)$ donde $l$ es la clase de equivalencia de la línea.
Explícitamente, la línea tiene la ecuación de $t(a_1,...,a_n)$ $a_i\in \mathbb{C}$ no todos cero y $t\in \mathbb{C}$. Si $t\neq 0$$\pi^{-1}(t(a_1,...,a_n)) = (t(a_1,...,a_n),[a_1:...:a_n])$. El límite de $t\rightarrow 0$ es claramente (0,[a_1:...:a_n]) en $\tilde\Delta$ y 0 $\Delta$.
Si tenemos una curva de $C$ a través de $0$ en el colector, se define la total transformación de $C$ a ser el homeomórficos preimagen de $\pi^{-1}(C-\{0\})$ más los puntos en la fibra durante $0$ que corresponden a los diferentes ángulos en los que se $C$ enfoques $0$. En la topología de zariski este es el cierre de $\pi^{-1}(C-\{0\})$ (dado que estos puntos son los límites de puntos en la preimagen, como he descrito anteriormente).
Para hacer el golpe del colector, uno se conecta $\tilde\Delta$ $\Delta$ $z=0$por el homeomorphism. Lejos de $0$, los otros gráficos siguen siendo los mismos.
Aquí hay algunas fotos de pregrado de papel, creo que esto ayuda a obtener una intuición de cómo volar separa las pistas de 0. Aquí tenemos un nodo $y^2 -x^2(1+x) = 0$ y una cúspide $x^2 − y^3 = 0$ $\mathbb{C^2}$ (tenga cuidado ya que este es solamente la imagen real). En el primer caso, el golpe hasta que separa la curva de ir a través de $0$ tomando la preimagen de $0$ a dos puntos correspondiente a la pendiente de la curva a través de $0$. En el segundo caso, la curva se aproxima a 0 en una dirección.
Tenga en cuenta que el total resultante se transforma no en singular.
Aquí hay otra foto de la misma cosa con un local de la imagen de la explosión de la disco, que se puede encontrar en esta gran papel.
Para el caso de una de las dimensiones superiores submanifold, la intuición sigue siendo el mismo. Como se puede ver en el artículo de la wikipedia, se define localmente por medio de ecuaciones que son el mismo como el golpe de una dimensión 0 submanifold. Usted está tomando una proyección de $\tilde M \longrightarrow M$ que es un homeomorphism en todas partes, excepto en el submanifold, y cuando levanta una curva que cruza el submanifold, se definen los puntos en la preimagen de la submanifold a ser los correspondientes a la pendiente en la que la curva cruza.
EdenMachine
Puntos
138
No una imagen y no un múltiple complejo, pero espero que esto ayude. Tomar la curva $y^2 = x^2 (1 + x)$ $\mathbb{R}^2$. Tiene una singularidad (la esquina) en el origen. El golpe para arriba incrusta la curva de $\mathbb{R}^3$ y se separa de la curva en la singularidad: Piense en esto como escoger encima de una rama y levantándolo por encima de la otra para que ellos no se cruzan más. Nos estamos "saltar" la curva en la singularidad.
