Ejemplo: operador inyectiva, entonces la adjunta no es sobreyectiva

Question

Deje $T: V \rightarrow W$ ser un operador acotado en la normativa de espacios de $V,W$. Ahora, hay un único adjunto del operador $T': W' \rightarrow V'$ definido por $T'(\alpha) = \alpha \circ T$. En finito dimensionales espacios, tenemos que si $T$ es inyectiva, entonces $T'$ es surjective. Desde básico espacio de Hilbert teoría, sospecho que el espacio de Banach adjunto no debe ser surjective en general. Probablemente, $T'$ tiene sólo densa gama. Ya no sabemos que el rango de $T'$ es cerrado( que es trivial en el finito-dimensional caso), $T'$ no tiene que ser en. ¿Alguien sabe un ejemplo de esta situación, donde $T$ es inyectiva, pero $T'$ no surjective?

Si algo no está claro, por favor hágamelo saber.

Answer 1

Tomar el uno mismo-adjoint operador diagonal $Te_k=\frac1k e_k$ en un Hilbert espacio orthonormal base $\{e_k, k\in\mathbb N\}.$ el núcleo de $T$ $\{0\}$ pero $T$ no es sobreyectiva, ya que por ejemplo $\sum_k \frac1k e_k$ no está en la gama.