¿Cómo se resuelve $e^{ax}-e^{bx}=c$ $x$?

Question

¿Cómo puedo solucionar $e^{ax}-e^{bx}=c$$x$?

Las constantes $a$, $b$ y $c$ son números reales. Es la forma final de un largo ecuación que me simplyfied.

Edit: El real de la ecuación estoy tratando de resolver se aplica a un radiactivos generador de molibdeno-99/tecnecio-99m en mi departamento de medicina nuclear. Queremos saber cuál es su exacta de calibración de tiempo.

La ecuación es: $A_T = A_M \lambda_T (e^{-\lambda_Mt}-e^{-\lambda_Tt}) / (\lambda_T-\lambda_M)$

$A_T$ es la actividad de Tc-99m en el tiempo de elución de la mañana del lunes = 3 Curios

$A_M$ es la actividad de Mo-99 en la calibración de hora en domingo = 6 Curios

$\lambda_T$ es el deterioro constante de Tc-99m = 0.1152

$\lambda_M$ es el deterioro constante de Mo-99 = 0.01051

t es el tiempo entre la calibración y la elución. Es lo que queremos determinar.

El objetivo es hacer la primera elución de cada lunes, mide la actividad de Tc-99m obtenido (es usualy entre 3 y 3.5 Ci) y a partir de qué tiempo el domingo el generador estaba calibrado para su 6 la actividad de Ci de Mo-99. Así que todas las variables son fijos, excepto fot t y $A_T$.

Answer 1

Voy simplemente repetir lo que otros han dicho: no Hay manera general para resolver ecuaciones de la forma que tenga. Hay un puñado de valores de $a, b$ para que una solución a $\;e^{ax} - e^{bx} = c\;$ siempre puede ser resuelto: por ejemplo, si $a, b \in \{1, 2, 3, 4\}$, estás de suerte. (Por supuesto, si $c = 0$, también estás de suerte.)

Hay métodos numéricos para la resolución de una ecuación para valores dados de $a, b, c$. Si usted sólo tiene la forma general que has publicado, me temo que no hay ninguna que todo lo abarca de la solución. Pero si se han determinado los valores de $a, b, c$ en mente, siéntase libre de editar el post y vamos a echar un vistazo a esos valores.

Answer 2

Declarar $y=e^x$ da

$$y^a-y^b=c$$

Gran $a$ $b$ esta ecuación no es resoluble: es un polinomio de grado alto o alguna otra bestia complicado. Numéricos son el camino a seguir aquí.

Answer 3

Como han dicho otros, está en una solución numérica, pero puede ser hecho más simple. Parece medir $t$ en horas, por lo que es en el rango $10-30$, que significa $ax$ está en el rango $-.1$ $-.3$ y $bx$ está en el rango $-1$ $-3$. Quisiera reescribir la ecuación como $x=\frac 1a \log (c+e^{bx})$ y recorrer, a partir de $x_0=20$. Debe converger rápidamente.

Answer 4

Escribo como $(e^x)^a$ e la misma para el segundo.

Ahora compruebe si $c$ es positivo o negativo. Si +ve, tome $(e^x)^b$ comunes. Ahora la izquierda de la cosa $((e^x)^a)-1$ no es divisible por $e^b$ más. Se divide $c$ $e^b$ (si $c$ tiene un factor). Entonces, no. de veces que se puede dividir por es $x$.

Acaba de poner a $x$ después y seguramente de verificación.

Sólo visualizar y, a continuación, hacerlo. Se puede utilizar para resolver ecuaciones como $(2^m)-(2^n)=56$.

En realidad, alguien me dio la ecuación de arriba (el uno con poderes de $2$) y, a continuación, me pidió que buscara $m$$n$. He dividido $56$ $2$ tantas veces como pueda hasta que me llegó $7$ ($3$ veces). Por lo $n$$3$$m$$6$.

Seguramente se trate de esto también!

Answer 5

Después de editar, su ecuación es:

$$ e^{-\lambda_M t} - e^{-\lambda_T t} = \frac{A_T(\lambda_T−\lambda_M)}{A_M\lambda_T}. $$ Ahora usted desea conseguir un razonablemente precisas $t$ por valores numéricos para aproximar el tiempo real.

Esta es mi sugerencia: debido a la derivada de la izquierda se descompone muy rápido a cero, raíz común encontrar algoritmos como el método de Newton (o cualquier otra búsqueda de raíces método de pertenencia en la clase de Familia en los métodos) puede no converger muy bien.

Usted puede querer probar la vieja escuela Interseccion método.