Factor anillos de Anillos polinómicos.

Question

Deje $\mathbb F$ ser un campo y $\mathbb F[x]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $\mathbb F$. Deje $p(x)$ ser un polinomio irreducible en $\mathbb F[x]$. Deje $k$ ser un entero positivo y considere el espacio vectorial $V$, sobre el campo $\frac{\mathbb F[x]}{(p(x))}$con base

$$1, p(x), p(x)^2, \ldots, p(x)^{k-1}.$$

Es decir, $$V=\left\{q_0+q_1p(x)+\cdots +q_{k-1}p(x)^{k-1}\;\;:\;\;q_i\in\frac{\mathbb F[x]}{(p(x))}\right\}.$$

Definir en $V$ un producto modulo $p(x)^k$. Es decir, si

$$v=v_0+v_1p(x)+\cdots +v_{k-1}p(x)^{k-1}\;\;\text{and}\;\;u=u_0+u_1p(x)+\cdots +u_{k-1}p(x)^{k-1},$$ a continuación, multiplicamos $v$ $u$ la manera obvia, usando la distributividad y suponiendo que $p(x)^k=0$. Esto hace que $V$ un álgebra. Mi pregunta es:

Es esta álgebra $V$ isomorfo a $\frac{\mathbb F[x]}{(p(x)^k)}$?

Answer 1

Ver a esta pregunta de seguimiento para una discusión de coeficiente de campos.

Por la prueba de Cohen Estructura del Teorema, existe un coeficiente de campo dentro de $A = \mathbb{F}[X]/(p^k)$, por lo tanto, un inyectiva mapa de $L \to A$, cuya imagen es un complemento a la máxima ideal $\bar{p}A$$A$. Extenderlo a un $L$-álgebra homomorphism $\varphi : B = L[Y]/(Y^k) \to A$ mediante el envío de $\bar{Y}$$\bar{p}$. Ahora podemos ver tanto en $A$ $B$ $L$- espacios vectoriales. Desde $(p^i)/(p^{i+1})$ es isomorfo a $L$ para todos los $i \geq 0$, $\dim_L A = \dim_LB = k$. Por lo tanto, $\varphi$ es un isomorfismo.

Answer 2

No, el álgebra que ha definido es isomorfo a $\mathbb F[x]/x^k$, donde está representada la $x$ $p(x) \in V$. Tiene dimensión $k$ mientras que $\mathbb F[x]/p(x)^k$ $k\cdot\deg p$ de la dimensión.