¿Puede si no es igual a $f(g(x)) = x$ $g(f(x))$ $x$?

Question

¿Es posible que hay funciones $f(x)$ y $g(x)$ donde $f(g(x)) = x$ y $g(f(x))$ no es igual a $x$? ¿Si es así, hay un patrón o regla general para ellos? Si no es así, ¿qué es la prueba de que no hay? Esto se originó cuando un profesor de matemáticas, dijo a fin de ser el inverso del $g$ $x$ $f$ $x$, debe ser que tanto $f\circ g$y $g \circ f$ igual $x$ y un estudiante le preguntó si uno de estos casos existe.

Answer 1

Hay muchos ejemplos de esto. En tales casos, $f$ se llama una inversa izquierda de $g$, en contraste con un full (dos caras) inversa. Para dar un ejemplo, considere $g \colon [0,\infty) \to \mathbf R$ de $g(x) = \sqrt x$ y $f \colon \mathbf R \to [0,\infty)$ de $f(x) = x^2$. Contamos con $$ f\bigl(g(x)\bigr) = \sqrt{x}^2 = x, \qquad x \in [0,\infty) $ y $$ g\bigl(f(x)\bigr) = |x|, \qquad x \in \mathbf R. $ $ $f \circ g$ es la identidad, donde $g \circ f$ no es.

Answer 2

Otro ejemplo es el logaritmo, que tiene ramas en el plano complejo. Que $$L(x)=\log(x)+ 2 \pi Î$$ then $$\exp(L(x))=x$$ but $% $ $L(\exp(x))=x+2 \pi Î$