¿Qué Jaynes ' continuo pdf notación "g (x)dx" significa realmente?

Question

Algo que me molesta acerca de E. T. Jaynes de tratamiento de parámetros continuos.

En su libro Teoría de la Probabilidad: La Lógica de la Ciencia, utiliza una notación que no estoy familiarizado con al obtener las probabilidades de los parámetros continuos de sus densidades. Por ejemplo, en el capítulo 4, página 420, la ecuación 4-49, Jaynes "discretiza" el continuo parámetro $f \in [0,1]$ tomando el intervalo de $(f, f+df)$ y poner una probabilidad a través de $g$, la densidad de $f$:

.. así que vamos a ir de nuevo a la original probabilidad de (4-3):

$P(A|DX)=\frac{P(D|AX)P(A|X)}{P(D|X)}$

Dejando ahora Un stand para la proposición "La fracción de los malos está en el rango de $(f, f+df)$", hay un antes pdf

$P(A|X)=g(f|X)df$,

que da la probabilidad de que la fracción de los malos está en el rango de $df$,

¿Por qué no el anterior escrito como $P(A|X)=\int_f^{f+dx} g(t|X)dt$ (con variable ficticia $t$)? $g(f|X)df$ para un finito $df$ es la izquierda del rectángulo de aproximación (a la manera de las sumas de Riemann), no $P(A|X)$. Si fueron a la partición de la $[0,1]$ en muchos proposición diferente y se asigna la probabilidad como el de arriba, es posible que no suma de a 1.

O $df$ denotar algún tipo de notación infinitesimal, no estoy familiarizado con? Nunca he parecer que la notación utilizada 'solo'-- afaik sólo es significativa cuando se usa en el contexto de la diferenciación/integración, como $\frac{d}{dx}$ o $\int foo()dx$. Si es que algunos infinitesmal notación, esto parece ir en sentido contrario a Jaynes la filosofía de apegarse a número finito de proposiciones hasta el final, donde el límite puede ser tomado de manera explícita.

Como otro ejemplo, en el capítulo 15, página 1514, la ecuación (15-38), escribe bivariado de probabilidad normal con correlación $\rho$ como:

$p(dx\ dy|I)=\frac{\sqrt{1-\rho^2}}{2\pi}exp[-\frac{1}{2}(x^2 + y^2 -2 \rho x y)]dxdy$

Que es un poco diferente de nuevo. Presumiblemente $p(dx\ dy|I)$ significa que la "Probabilidad de que el verdadero valor de $(x,y)$ cae en $(x+dx,y+dy)$", pero aquí de nuevo escribe la definición de la integral de la suma-como aproximación en lugar de la integral de la densidad de $[(x,x+dx) \times (y,y+dy)]$.

Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Acerca de la primera cita: Su primera interpretación es la correcta: Jaynes reemplaza la integral con un rectángulo de aproximación. Dado que se trata de una aproximación a la integral, que también son correctas en el que resaltó que, para un determinado $df$, lo finito suma de los rectángulos no da $1$.

Se trata de la segunda cita: me temo que Jaynes hizo una anotación error en esta definición. El uso de la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^2$$\text{d}x\,\text{d}y$, debemos tener $$ \text{d}p(x,y|I)=\sqrt{1−ρ^2}/\sqrt{2}\exp[-1/2(x^2+y^2−2pxy)]\text{d}x\text{d} y $$ para la medida normal. Sin embargo, desde Jaynes es, en general, todo lo opuesto a la teoría de la medida, creo que su interpretación como una de Riemann aproximación es totalmente correcta!

Answer 2

$df$ Debe tomarse como acercamiento a cero. Vea diferencial (infinitesimal).

Answer 3

La notación $\Pr(X \in dx)=f(x)dx$ es una notación estándar para decir que la ley de la variable aleatoria $X$ $f$ de la densidad. Nótese que esta notación es coherente con $\frac{\Pr(X\in dx)}{dx}=f(x)$ lo que realmente dice que $f$ es el derivado del radón-Nikodym de la ley de $X$ con respecto a la medida de Lebesgue - en otras palabras, la densidad. Así la notación $p(dx)=f(x)dx$ es correcta cuando denota $p$ la distribución de los $X$. Esta notación es también coherente con el hecho de que $\Pr(X \in [x, x+h]) \approx hf(x)$ cuando $h$ es pequeño.