Online vi una declaración que
"Se puede demostrar que el número de distintos primeros divisores de un entero n, denota $\omega(n)$, es tal que
$$\omega(n) = O\left(\frac{\log n}{\log \log n}\right)."$$
Pero realmente no tengo idea cómo esto es cierto,
En general realmente tengo muy poca experiencia demostrando ningún resultado sobre las tasas de crecimiento y tal.
¿Uno tiene que utilizar algunos resultados conocidos básicos en teoría del número para probarlo?
El número más pequeño con factores primeros distintos de la $m$ es el primorial $M=p_1\cdot\ldots\cdot p_m$.
Por el teorema primero del número $\sum_{p\leq x}\log p= x+o(x)$ $p_m\approx m\log m$, por lo tanto para $\omega(M)=m$ necesitamos $M\geq e^{m\log m+O(m)}$ y da vuelta en $$ \omega(M)=O\left(\frac{\log M}{\log\log M}\right) $ $ como quería.
Este problema es inusual, ya que es evidente que existe una secuencia, la primorials, para los que el valor de $\omega(n)$ aumenta; su función no se incrementa (alcanzar un nuevo máximo) en cualquier otro lugar. Así, es suficiente para la estimación de la función inversa. Permítanme hacer una rápida salida del programa, dame un par de minutos. Parece que, para $n > 2,$ tenemos $$ \omega(n) < 1.4 \frac{\log n}{\log \log n}. $$ Bien, él no intento explícito vinculado como mi conjetura 1.4, pero Ramanujan hace derivar el máximo orden. Tenga en cuenta que este comportamiento extremo no es nada típico, ver Erdos Kac. De nuevo, Ramanujan hizo parte de Erdos-Kac.
Página 17 de Carella. Véase la fórmula (4.6) que da una explícita del término de error.
omega prime n = primorial log n / log log n ratio
1 2 2 -1.89119 -0.528766
2 3 6 3.0723 0.650978
3 5 30 2.77847 1.07973
4 7 210 3.18934 1.25418
5 11 2310 3.7835 1.32153
6 13 30030 4.41897 1.35778
7 17 510510 5.10235 1.37192
8 19 9699690 5.79097 1.38146
9 23 223092870 6.50283 1.38401
10 29 6469693230 7.24626 1.38002
11 31 200560490130 7.98531 1.37753
12 37 7420738134810 8.74464 1.37227
13 41 304250263527210 9.50917 1.3671
14 43 13082761331670030 10.2687 1.36336
15 47 614889782588491410 11.0328 1.35959
16 53 32589158477190044730 11.8079 1.35502
17 59 1922760350154212639070 12.592 1.35006
18 61 117288381359406970983270 13.3715 1.34614
19 67 7858321551080267055879090 14.1585 1.34195
20 71 557940830126698960967415390 14.9465 1.3381
21 73 40729680599249024150621323470 15.7307 1.33497
22 79 3217644767340672907899084554130 16.5207 1.33166
23 83 267064515689275851355624017992790 17.3116 1.32859
24 89 23768741896345550770650537601358310 18.1072 1.32544
25 97 2305567963945518424753102147331756070 18.9107 1.32201
omega prime n = primorial log n / log log n ratio
Te dejamos el primorials se hacen más grandes, pero no impresión ellos, la figura 1.4 se ve bien.
1 2 -1.89119 -0.528766
2 3 3.0723 0.650978
3 5 2.77847 1.07973
4 7 3.18934 1.25418
5 11 3.7835 1.32153
6 13 4.41897 1.35778
7 17 5.10235 1.37192
8 19 5.79097 1.38146
9 23 6.50283 1.38401
10 29 7.24626 1.38002
11 31 7.98531 1.37753
12 37 8.74464 1.37227
13 41 9.50917 1.3671
14 43 10.2687 1.36336
15 47 11.0328 1.35959
16 53 11.8079 1.35502
17 59 12.592 1.35006
18 61 13.3715 1.34614
19 67 14.1585 1.34195
20 71 14.9465 1.3381
21 73 15.7307 1.33497
22 79 16.5207 1.33166
23 83 17.3116 1.32859
24 89 18.1072 1.32544
25 97 18.9107 1.32201
26 101 19.7141 1.31885
27 103 20.5143 1.31616
28 107 21.3147 1.31365
29 109 22.1122 1.31149
30 113 22.9101 1.30947
31 127 23.722 1.3068
32 131 24.5336 1.30433
33 137 25.3474 1.30191
34 139 26.1586 1.29976
35 149 26.9763 1.29744
36 151 27.7914 1.29537
37 157 28.6082 1.29333
38 163 29.4267 1.29134
39 167 30.2448 1.28948
40 173 31.0644 1.28765
41 179 31.8853 1.28586
42 181 32.7042 1.28424
43 191 33.5277 1.28252
44 193 34.3491 1.28097
45 197 35.1701 1.27949
46 199 35.9893 1.27816
47 211 36.8141 1.27668
48 223 37.6441 1.2751
49 227 38.4735 1.2736
50 229 39.3011 1.27223
51 233 40.1283 1.27092
52 239 40.9563 1.26965
53 241 41.7826 1.26847
54 251 42.6121 1.26724
55 257 43.4424 1.26604
56 263 44.2734 1.26487
57 269 45.105 1.26372
58 271 45.9351 1.26265
59 277 46.7659 1.2616
60 281 47.5962 1.2606
61 283 48.4251 1.25968
62 293 49.2567 1.25871
63 307 50.0927 1.25767
64 311 50.9283 1.25667
65 313 51.7624 1.25574
66 317 52.5962 1.25484
67 331 53.434 1.25388
68 337 54.2722 1.25294
69 347 55.1124 1.25199
70 349 55.9513 1.25109
71 353 56.7898 1.25022
72 359 57.6287 1.24938
73 367 58.4686 1.24853
74 373 59.3089 1.2477
75 379 60.1495 1.24689
76 383 60.9897 1.24611
77 389 61.8302 1.24535
78 397 62.6717 1.24458
79 401 63.5127 1.24385
80 409 64.3548 1.24311
81 419 65.1984 1.24236
82 421 66.0409 1.24165
83 431 66.885 1.24094
84 433 67.728 1.24025
85 439 68.5713 1.23959
86 443 69.4142 1.23894
87 449 70.2572 1.23831
88 457 71.1012 1.23767
89 461 71.9447 1.23706
90 463 72.7872 1.23648
91 467 73.6295 1.23592
92 479 74.4736 1.23534
93 487 75.3185 1.23476
94 491 76.1631 1.23419
95 499 77.0084 1.23363
96 503 77.8533 1.23309
97 509 78.6984 1.23255
98 521 79.5452 1.232
99 523 80.3912 1.23148
100 541 81.2403 1.23092
101 547 82.0896 1.23036
102 557 82.9399 1.22981
103 563 83.7903 1.22926
104 569 84.6409 1.22872
105 571 85.4905 1.22821
106 577 86.3403 1.2277
107 587 87.1911 1.22719
108 593 88.042 1.22669
109 599 88.893 1.22619
110 601 89.7432 1.22572
111 607 90.5934 1.22525
112 613 91.4438 1.2248
113 617 92.2938 1.22435
114 619 93.1431 1.22392
115 631 93.9937 1.22349
116 641 94.8452 1.22304
117 643 95.696 1.22262
118 647 96.5465 1.22221
119 653 97.3971 1.2218
120 659 98.2477 1.2214
121 661 99.0977 1.22102
122 673 99.9489 1.22062
123 677 100.8 1.22024
124 683 101.651 1.21986
125 691 102.502 1.21949
126 701 103.354 1.21911
127 709 104.207 1.21873
128 719 105.061 1.21834
129 727 105.914 1.21796
130 733 106.768 1.21759
131 739 107.622 1.21722
132 743 108.476 1.21686
133 751 109.33 1.2165
134 757 110.184 1.21615
135 761 111.038 1.2158
136 769 111.892 1.21546
137 773 112.746 1.21512
138 787 113.601 1.21478
139 797 114.457 1.21443
140 809 115.314 1.21408
141 811 116.17 1.21373
142 821 117.027 1.21339
143 823 117.884 1.21306
144 827 118.74 1.21274
145 829 119.595 1.21242
146 839 120.451 1.21211
147 853 121.309 1.21179
148 857 122.166 1.21147
149 859 123.022 1.21116
150 863 123.878 1.21087
151 877 124.736 1.21056
152 881 125.593 1.21026
153 883 126.449 1.20997
154 887 127.306 1.20969
155 907 128.164 1.20939
156 911 129.022 1.2091
157 919 129.88 1.20881
158 929 130.739 1.20851
159 937 131.598 1.20822
160 941 132.457 1.20794
161 947 133.316 1.20766
162 953 134.175 1.20738
163 967 135.035 1.2071
164 971 135.894 1.20682
165 977 136.754 1.20655
166 983 137.613 1.20628
167 991 138.473 1.20601
168 997 139.333 1.20574
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