Convergencia o divergencia de $ u_{n}=\left(\sum\limits_{k=1}^n e^{\frac{1}{k+n}}\right)-n$

Question

$$ u_{n}=-n+\sum_{k=1}^n e^{\frac{1}{k+n}}$$

$$ u_{n+1}-u_{n}=-1+\exp\left(\frac{1}{2n+2}\right)+\exp\left(\frac{1}{2n+1}\right)-\exp\left(\frac{1}{n+1}\right)=O(1/n^3)$$

Así $ \sum u_{n+1}-u_n$ y $u_n$ convergen.

$ u_{100000} \approx 0.69 $

El límite parece ser $\ln2$

Answer 1

Cada $x\leqslant1$, $1+x\leqslant\mathrm e^x\leqslant1+x+x^2$ por lo tanto, $u_n=v_n+w_n$ con $$ v_n = \sum_ {k = 1} ^ n\frac1 {k + n} = \frac1n\sum_ {k = 1} ^ n\frac1 w_n\leqslant\sum_ de \qquad 0\leqslant {\frac {k} n + 1}, {k = 1} ^ n\frac1 {(k+n) ^ 2} \leqslant\frac1n. $$ % Particular, $w_n\to0$. Por otro lado, $v_n$ es $n$ th suma de Riemann de la función $x\mapsto\frac1{1+x}$ en el intervalo $[0,1]$ por lo tanto, $v_n\to\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{1+x}=\log2$. Por último, $\lim\limits_{n\to\infty}u_n=\log2$.

Answer 2

Todo se reduce a la n veces el uso del siguiente límite elemental, a saber: $$\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1$ $

En consecuencia, mediante la ampliación de la suma tenemos:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{e^\frac{1}{n+1}-1}{\frac{1}{n+1}} \frac{1}{n+1} + \lim_{n\to\infty}\frac{e^\frac{1}{n+2}-1}{\frac{1}{n+2}} \frac{1}{n+2}+ \cdots = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n} = $ $ $$\lim_{n\to\infty}{\gamma}+\ln{2n}-{\gamma}-\ln{n}= \ln{2}.$ $ También notar que yo sólo he aplicado otro límite conocido: $$\lim_{n\to\infty} 1+\frac1{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln{n}={\gamma}$$ $\tag{$\gamma$ es constante de Euler-Mascheroni} $

La prueba es completa.