Una pregunta sobre $\operatorname{GL}_2(\mathbb R)$

Question

Sé que todos los subgrupos finitos de $\operatorname{SL}_2(\mathbb R)$ son cíclicos por norma promedio de argumento. Son todo conjugado a un subgrupo finito de $\operatorname{SO}_2(\mathbb R)$ y por lo tanto cíclico. Mi pregunta es cómo clasificar todos los subgrupos finitos de $\operatorname{GL}_2(\mathbb R)$.

Gracias.

Answer 1

El mismo promedio de argumento y rvk describir da que cualquier subgrupo finito $G$ $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ es conjugado a un subgrupo de $O_2(\mathbb{R})$. (Para el caso, esto también se muestra en $\S 1.3$ de estas notas. El resto de las notas tratar complejo y $p$-ádico análogos, con aplicaciones para la clasificación de subgrupos finitos de $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Q})$.)

Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que el $G \subset O_2(\mathbb{R})$. Deje $H = G \cap SO_2(\mathbb{R})$. Desde $[O_2(\mathbb{R}):SO_2(\mathbb{R})] = 2$, $[G:H] = 1$ o $2$. Si $G = H$ $G$ sí es un subgrupo finito de $SO_2(\mathbb{R})$, por lo tanto cíclico. Si $[G:H] = 2$, vamos a $g \in G \setminus H$. Entonces $\det(g) = -1$, por lo que por el Cartan-Dieudonné Teorema $g$ es lineal reflexión y por lo tanto $G = \langle H, g \rangle$ es un diedro grupo $D_n$.

Answer 2

Considerar un subgrupo finito $F$. Actúa en $\mathbb R^2$. Podemos definir un producto de $F$-invariante positivo definido interno por truco promedio de Weyl. Entonces una imagen de isomomorphic de $F$ se encuentra en $O(2,\mathbb R)$.