De segundo orden lineal homogénea diferencia ecuación con una variable con coeficientes

Question

Me preguntaba si usted me apunte a un libro donde la teoría de segundo orden lineal homogénea diferencia ecuación con una variable con coeficientes se discute. Estoy teniendo dificultades en la obtención de métodos rigurosos para resolver algunas ecuaciones, ver un ejemplo a continuación.

En particular, dada la recurrencia de la relación

$X_{n+2} = \frac{3n-2}{n-1}X_{n+1} - \frac{2n}{n-1}X_n$,

dos soluciones son

$X(n)= n$ $X(n) = 2^n$ .

Hay un "elemental" manera de llegar a estas soluciones? (es decir, sin el uso de transformaciones, etc.)

Gracias de antemano.

Answer 1

SUGERENCIA $\ $ Factor de la diferencia de operador. Con el operador de desplazamiento a la $\rm\ S\ X_n = X_{n+1}\ $ hemos

$$\rm\ ((n-1)\ S^2 - (3\ n-2)\ S + 2\ n)\ \ X_n\ =\ ((n-1)\ S - n)\ (S - 2)\ \ X_n$$ Ahora pon $\rm\ Y_n = (S - 2)\ X_n = X_{n+1} - 2\ X_n\:.\ $ de los de segundo orden de la ecuación se reduce a $\rm\ (n-1)\ Y_{n+1} - n\ Y_n = 0\:.\ $ Resolver que para $\rm\:Y_n\:$ y, a continuación, enchúfelo en la anterior ecuación para obtener un primer orden no homogéneas ecuación de $\rm\: X_n\:.$

Answer 2

No estoy seguro de que esto es lo que usted está buscando, pero ¿sabes de H. Wilf del libro "generatingfunctionology"?

Él la puso a disposición en línea de forma gratuita:

http://www.math.upenn.edu/~wilf/gfologyLinked2.pdf