Así que originalmente quería demostrar que los reales son innumerables, pero la mejor solución que se me ocurrió era demostrar la irrationals son innumerables, por lo tanto los reales debe ser así. Supongo que mi primera pregunta es, es esto válido lógica?
El próximo tomar cualquier contables subconjunto de $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$, como $S$. Pues contables de la $\exists \; a : S \to \mathbb{N}$, mientras que de $a$ es bijective. Porque es bijective, $\exists \; b : \mathbb{N} \to S$ igualmente bijective mientras que $b$ es la inversa de a $a$. Ahora vamos a formar un irracional, como $s$. Comience con el número definido como '$0.$'. El $n$º lugar después de la coma decimal lugar el $n$th dígitos de $b_n$ con un agregado a la (si $n$th dígitos de $b_n$ $9$ ponerlo a ser $0$). Es claro que este número $s$ no está en el conjunto $S$ de lo que se deduce que cualquier contables subconjunto de $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ es un subconjunto estricto, por lo $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ debe ser incontable (de lo contrario sería evidentemente un subconjunto estricto de sí mismo...).
Ahora desde $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ es incontable de ello se sigue que $\mathbb{R}$ es incontable.
P. S. me esta etiqueta como la topología, porque es introducido en la "topología básica" en Rudin
EDIT: como William y Thomas señaló que esto no es exactamente válido, no hay ninguna garantía de que $s \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$. Así que podemos decir que vamos a $S$ ser una contables subconjunto de $\mathbb{R}$$\exists \; a : S \to \mathbb{N}$, y del mismo modo a la inversa de $a$, $b : \mathbb{N} \to S$ y así forman $s$ como el número de $0.$ $n$th dígito después del punto decimal a ser el $n$th dígitos de $b_n$ (ampliando el número con la cantidad de $0$'s según sea necesario), además de uno o si el número resulta ser $10$, coloque $0$ no. Entonces es claro que $s \not\in S$, por lo que cada contables subconjunto es un subconjunto estricto de modo $\mathbb{R}$ debe ser incontables. Después, se debe seguir ese $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ es incontable desde $\mathbb{Q}$ es contable, y tomando una contables número de cosas a partir de un número incontable de las cosas claramente el resultado de un sinnúmero de cosas.
