Las huellas

Question

Deje $\Omega \subset \mathbb R^n$ ser un dominio con un suave límite de $\partial \Omega$. Yo sé que para $s > 1/2$, se puede definir un (orden cero) traza operador $$ \gamma \colon H^s(\Omega) \to H^{s-1/2}(\partial \Omega) \subset L^2(\partial \Omega)\text.$$ Aquí, escribí $H^s$ para denotar la fracción de espacio de Sobolev.

Q: ¿Es posible ampliar esta definición para el caso de $s < 1/2$? La imagen consistiría entonces en las distribuciones.

En particular, vamos a elegir a $s = 0$. Hay un rastro operador $\gamma \colon L^2(\Omega) \to H^{-1/2}(\partial \Omega)$? Es decir, es posible hacer sentido de la expresión $$ \int_{\partial \Omega} v w \quad \text{with $v \en L^2(\Omega)$, $w \H^1(\Omega)$?}$$

Answer 1

Estoy de acuerdo con el comentario de gerw: esto no parece posible. Por ejemplo, la función constante $w\equiv 1$ en la bola de la unidad $D\subset \mathbb R^n$ es en $H^1(D)$ (y por supuesto en todas las $H^m(D)$). Por lo tanto, para que el operador del rastro para definirse, tendríamos que hacer sentido a $\int_{\partial D} v$ $v\in L^2(D)$. Pero para funciones tales como $v(x)=\sin \left(1/(1-|x|)\right)$ allí no es ninguna noción útil de $\int_{\partial D} v$.