Propiedad universal: ¿personas estudian objetos terminales en $(X\downarrow U)$?

Question

Supongamos que $U:D\to C$ es un functor y $X$ es un objeto de $C$. En la definición Universal de los bienes, Wikipedia escribe acerca de terminal objetos en $(U\downarrow X)$ inicial y objetos en la categoría de $(X\downarrow U)$. Las imágenes que aparecen a continuación para ilustrar la idea.

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Me pregunto por qué nunca he encontrado la discusión de la terminal de objetos en $(X\downarrow U)$ o inicial de los objetos en $(U\downarrow X)$? Son estos objetos, simplemente menos interesante? Son pocos los ejemplos disponibles para el estudio?

Answer 1

Los dos 'universal' propiedades de la Wikipedia habla en realidad dual: terminal de morfismos de $U$ $X$son exactamente las iniciales de morfismos de$X^\mathrm{op}$$U$. Terminal de objetos en $(X \downarrow U)$ por otro lado, son una cosa muy diferente, y no hay ninguna razón para ser interesante sólo porque la inicial de objetos. La inicial de morfismos es lo que otros morfismos extender (doblemente: ascensor) a través de la terminal de morfismos es lo que se extiende a través de otros morfismos, que es algo que puede contener trivial de la razón (cf. Adeel del comentario).

Para decirlo en menos vaga, la propiedad crucial de inicial morfismos de $X$ $U$es que son equivalentes a la representatividad de $\hom(X, U-)$ (inicial y morfismos en general son, de hecho, equivalente a la noción de representatividad: functor $F : C → \mathrm{Set}$ es representable iff hay un inicial de morfismos de la singleton a $F$). Para la terminal de objetos de $(X \downarrow U)$ nada similar es verdad.

(Para ser honesto, esto no ofrece ningún tipo de información adicional sobre por qué están terminal de objetos 'interesante', argumentando que sólo tenemos ninguna razón para esperar que ellos sean, pero se sentía demasiado largo para un comentario.)