Número de soluciones reales

Question

Probar que la ecuación

$\lfloor x\rfloor+\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 4x\rfloor+\lfloor 8x\rfloor+\lfloor 16x\rfloor+\lfloor 32x\rfloor = 12345$

No tiene ninguna solución real.

($\lfloor x\rfloor$ Indica el mayor entero menor o igual a$x$).

Mi intento

Sea$x=I+f$, donde$I=\lfloor x\rfloor$ y$f$ denota la parte fraccionaria de$x$. Por lo tanto, la ecuación se reduce a

$63I+\lfloor 2f\rfloor+\lfloor 4f\rfloor+\lfloor 8f\rfloor+\lfloor 16f\rfloor+\lfloor 32f\rfloor = 12345 $

$I=195+\frac{20}{21}-\frac{\lfloor 2f\rfloor+\lfloor 4f\rfloor+\lfloor 8f\rfloor+\lfloor 16f\rfloor+\lfloor 32f\rfloor}{63}$

No se puede proceder de aquí en adelante

Answer 1

Sugerencia : La función está aumentando y aumenta en todos los múltiplos de$\frac{1}{32}$ y permanece constante en otros lugares. Pero tenemos$f(195+\frac{31}{32})=12342$ y$f(196)=12348$.

Answer 2

Debido a que$\lfloor z\rfloor\in(z-1,z]$ debemos tener$12345\leq 63x$ y$12351>63 x$, por lo tanto:$$ x\in\left(196-\frac{1}{21},196+\frac{1}{21}\right]$ $ pero desde$\frac{1}{21}<\frac{1}{16}$ %