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¿Es Q2I2 desconectado?

Mi intuición dice que sí, pero no estoy completamente seguro. Pensé en usar el mapa de proyección ya que es continuo y sobreyectivo y también porque sé que los racionales e irracionales están desconectados en los reales. Sin embargo, no hay un conjunto fijo que se proyecte en este caso, por lo que creo que no es el camino a seguir en este caso.

Algo me dice que la desconexión sigue directamente de la definición aunque no estoy seguro de cómo.

Cualquier ayuda es apreciada.

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Buena pregunta. Después de jugar un poco, mi intuición es que está conectado, pero en este momento no veo una prueba.

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tariqsheikh Puntos 58

Q2I2 es conexo.

Cada línea de pendiente racional finita y no nula que pase por (0,0) está contenida en Q2I2, porque si el cociente de dos números reales es un número racional no nulo entonces ambos son racionales o ambos son irracionales. La unión de estas líneas es conexa por caminos. Por lo tanto, Q2I2 contiene un subconjunto denso conexo, por lo que es conexo.

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Eso tiene mucho sentido. ¡Gracias!

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