¿Es $\mathbb{Q}^2 \cup \mathbb{I}^2$ desconectado?

Question

Mi intuición dice que sí, pero no estoy completamente seguro. Pensé en usar el mapa de proyección ya que es continuo y sobreyectivo y también porque sé que los racionales e irracionales están desconectados en los reales. Sin embargo, no hay un conjunto fijo que se proyecte en este caso, por lo que creo que no es el camino a seguir en este caso.

Algo me dice que la desconexión sigue directamente de la definición aunque no estoy seguro de cómo.

Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

$\mathbb{Q}^2 \cup \mathbb{I}^2$ es conexo.

Cada línea de pendiente racional finita y no nula que pase por $(0,0)$ está contenida en $\mathbb{Q}^2 \cup \mathbb{I}^2$, porque si el cociente de dos números reales es un número racional no nulo entonces ambos son racionales o ambos son irracionales. La unión de estas líneas es conexa por caminos. Por lo tanto, $\mathbb{Q}^2 \cup \mathbb{I}^2$ contiene un subconjunto denso conexo, por lo que es conexo.