Supongamos que$K$ es un campo,$\bar{K}$ su cierre algebraico y$L$ alguna extensión algebraica de$K$. Necesito calcular$\hbox{Spec}(L \otimes_K \bar{K})$.
¿Hay algún resultado del álgebra que da una descripción agradable de$L \otimes_K \bar{K}$ que me ayudaría a calcular el espectro?
El producto tensor$A=L \otimes_K \bar{K}$ es un álgebra algebraica sobre$\bar K$.
Es de Krull dimensión cero, es decir, cada ideal principal de$ A$ es máxima.
No creo que pueda decir mucho más si no haces más hipótesis sobre$L$: el álgebra$A$ puede ser infinito dimesional como un espacio vectorial sobre$\bar K$, puede ser no reducido , Tienen idempotents no trivial, etc ...
En el caso simple donde$L/K$ es separable, y por lo tanto generado por un solo elemento algebraico$\alpha$, tenemos$$L = K[x]/(p(x)),$ $ donde$p(x)$ es el polinomio mínimo de$\alpha$encima $K$. Por lo tanto,$$L \otimes_K \bar{K} \cong \bar{K}[x]/(p(x)),$ $ y como$\bar{K}$ está cerrado algebraicamente,$p(x)$ se divide en poderes de factores lineales. Ahora se aplica el teorema del residuo chino. Si$L/K$ no es generado individualmente, la respuesta será menos conveniente.
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