Cómo debo entender la definición formal de los números cardinales utilizando los números ordinales

Question

Estoy leyendo el PCM ( El compañero de matemáticas de Princteton ) artículo sobre la teoría de conjuntos (IV.22) de Joan Bagaria. Estoy tratando de entender su comentario sobre la diferencia entre los números cardinales y ordinales.

En la teoría de conjuntos, a uno le gusta considerar todo objeto matemático objetos matemáticos como conjuntos. En el caso de los ordinales, esto se puede hacer de una manera particularmente manera sencilla: representamos el 0 por el conjunto vacío, y el número ordinal se identifica con el conjunto de todos sus predecesores. Por ejemplo, el número natural n se identifica con el conjunto {0, 1, . . . , n 1} (que tiene cardinalidad n) y el ordinal + 3 se identifica con el conjunto {0, 1, 2, 3, . . . , , + 1, + 2}.

... los números cardinales se utilizan para medir el tamaño de los conjuntos, mientras que los números ordinales indican la posición en una secuencia ordenada. Esta distinción es mucho más evidente para los números infinitos que para los finitos, porque entonces es posible que dos ordinales diferentes ordinales tengan el mismo tamaño. Por ejemplo, los ordinales y +1 son diferentes pero los correspondientes conjuntos {0, 1, 2, . . . } y {0, 1, 2, . . . } tienen la misma cardinalidad, como muestra la figura 1. De hecho, todos los conjuntos que se pueden que se pueden contar usando los ordinales infinitos que hemos descrito hasta ahora son contables. Entonces, ¿en qué sentido son diferentes los ordinales diferentes? La cuestión es que aunque dos conjuntos como como {0, 1, 2, . . . } y {0, 1, 2, . . . . . } tienen la misma cardinalidad, no son isomorfos de orden: es decir, no se puede encontrar una biyección de un conjunto al otro tal que (x) < (y) siempre que x < y. Por tanto, son iguales "como conjuntos" pero no "como conjuntos ordenados".

Informalmente, los números cardinales son los posibles tamaños de los conjuntos. Una definición formal conveniente de un número cardinal es que es un número ordinal que es mayor que todos sus predecesores.

¿Podría alguien explicar con ejemplos qué significa la frase en negrita? ¿Cuál podría ser un ejemplo de que un número ordinal es igual o menor que algunos de sus predecesores?

Answer 1

$\omega + 1$ es un buen ejemplo. $\omega + 1$ es el ordinal $\{0, 1, 2, \ldots, \omega\}$ como una ordenación, piensa en ello como $\omega$ con un elemento más al final. Es mayor que $\omega$ porque tiene $\omega$ como un segmento inicial propio; para los ordinales, eso es lo que significa "mayor". Pero no es más grande que $\omega$ - hay una biyección entre $\omega$ y $\omega + 1$ dado por la función $f$ que lleva $0$ a $\omega$ y $n$ a $n - 1$ para todos $n > 0$ .

En cambio, el ordinal $\omega_1$ , definido como el primer ordinal incontable, es más grande que todos sus predecesores, por definición - si $\alpha < \omega_1$ entonces $\alpha$ no puede ser incontable, por lo que hay una inyección de $\alpha$ a $\omega$ . Pero no hay inyección de $\omega_1$ a $\omega$ por definición, porque eso haría que $\omega_1$ contable. Así que $\omega_1$ es un cardinal, a menudo denotado $\aleph_1$ .

La idea clave aquí es que el autor está usando "más grande" para referirse a tamaño es decir, "mayor" es una afirmación sobre si existe una determinada inyección, no sobre dónde aparece un ordinal en el ordenamiento estándar.

Por otro lado, has preguntado por un ordinal que sea "igual o menor que algunos de sus predecesores". Esto no puede ocurrir. Un ordinal nunca es igual a sus predecesores, porque diferentes ordinales son siempre diferentes - es como preguntar si hay un número que es igual a otro número. Y como cada ordinal tiene una inyección en todos sus sucesores, los ordinales no pueden disminuir en tamaño. Lo único que puede sucede es el ejemplo que he expuesto anteriormente, donde tenemos un ordinal que es el mismo tamaño que su predecesor. Nótese que esto significa que, para los ordinales, "del mismo tamaño que" e "igual a" hacen no significan lo mismo.

Answer 2

El ordinal $\omega+1$ es mayor que $\omega$ como ordinal, pero son equipotentes. $f\colon\omega+1\to\omega$ definido como $f(\omega)=0; f(n)=n+1$ es una biyección testigo.

Por lo tanto, $\omega+1$ no es un cardenal.

Answer 3

No es una buena elección de palabras en la definición de cardenal. ¿"Más grande" en qué sentido? .... Definición : Un ordinal $x$ es menor que el ordinal $y$ si $x\in y$ si $x\subsetneqq y.$ Un ordinal cardinal $y$ es un ordinal para el que no existe una biyección desde $y$ a cualquier $x\in y.$

Hay incontables ordinales que son cada uno contablemente infinito. El $\in$ -el menor de ellos es $\omega.$ Cada una de ellas es una imagen biyectiva de $\omega.$

En la teoría de conjuntos $|A|$ suele denotar el cardinal del conjunto $A$ que es el $\in$ -y para el que existe una biyección fron $A$ a $y.$ Para cualquier ordinal infinito $x$ existe una biyección desde $x$ a $x+1=x\cup \{x\} ,$ pero cualquier biyección de este tipo $f$ no puede preservar el $\in$ orden. Es decir, no podemos tener $u\in v\implies f(u)\in f(v)$ para todos $u,v \in x.$