¿Es$K[x_1,\ldots,x_{n+1}]$ separable sobre$K[x_1,\ldots,x_n]$?

Question

Sea$R \subseteq S$ anillos comutativos. $S$ Es separable sobre$R$ si$S$ es un% proyectivo$S \otimes_R S$- módulo (bajo$\mu: S \otimes_R S \to S$ definido por$\mu(s_1 \otimes s_2)=s_1s_2$).

Sea$K$ un campo característico cero. ¿Es$K[x_1,\ldots,x_{n+1}]$ separable sobre$K[x_1,\ldots,x_n]$?

Answer 1

La respuesta es negativa.

Vamos a$A=K[x_1,\ldots,x_n]$, y$B=A[Z]$ (para mantener la notación de Wang, Corolario 8 de A Jacobiano criterio de separabilidad ). Entonces$B=A[Z]/(h(Z))$ con$h=0$. Si$B$ fueron separables sobre$A$, el resultado mencionado anteriormente de Wang implica$h'(Z)=0$ invertible en$B$, una contradicción.