Multiplicando dos desigualdades

Question

Supongamos que tenemos dos desigualdades$$a\leq x\leq b\tag{1}$ $$$c\leq y\leq d\tag{2},$ $ donde$a,b,c,d>0$. Entonces puedo concluir que$$ac\leq xy\leq bd\quad ?$ $

Mi intento: Puesto que$a,b,c,d>0$ y$\log_e$ es monotónico entonces podemos escribir$$\log a\leq \log x\leq\log b\tag{3}$ $$$\log c\leq \log y\leq\log d\tag{4}$ $ Adding$(3)$ y$(4)$,$$\log a+\log c\leq \log x + \log y\leq \log b+\log d.$$ Combinación de registros da$$\log(ac)\leq \log(xy)\leq \log(bd).$ $ Exponenciando luego da$$ac\leq xy\leq bd.$ $

Answer 1

Sí, su prueba es correcta. Excelente trabajo reduciendo la cuestión de multiplicar desigualdades a una más familiar de añadir desigualdades. Lo único que quiero mencionar es que tomar logaritmos y exponenciando son operaciones monótonas cada vez mayores . Si fueran monótonas decrecientes, las desigualdades cambiarían.