¿Cuál es la motivación detrás de$\tau=\mu \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}$ para el líquido newtoniano?

Question

De dónde viene la motivación? $\tau$ es el esfuerzo cortante, $u$ es la velocidad y la $\mu$ es la viscosidad de cizallamiento.

EDIT: Desde que escribí la pregunta sobre el teléfono, yo no era lo suficientemente claro acerca de lo que realmente estaba preguntando acerca de (ver comentarios más abajo); por lo tanto, permítanme aclarar.

Simplemente me estaba preguntando donde se hizo el término derivado vienen y no se por qué la expresión es lineal en el término derivado o por qué es la primera derivada y no por ejemplo, la segunda y así sucesivamente.

En el diagrama de la respuesta que he aceptado muestra exactamente cómo el gradiente viene en la imagen.

Answer 1

La motivación viene de la aplicación de la no-deslizamiento de la condición de contorno en un flujo de fluido. Este es probablemente más fácil de entender gráficamente,

El líquido en la parte superior se desplaza a $u$ mientras que el líquido en la parte inferior no se mueve, por lo tanto el gradiente $\partial u/\partial y>0$. Para un adecuado modelo de flujos de fluidos, este debe ser tomada en cuenta en las ecuaciones de Navier-Stokes; se llama $\tau$ para la "simplificación" de las ecuaciones.

Answer 2

Es una tautología. La viscosidad es la constante de proporcionalidad para fluidos Newtonianos. Podemos imaginar una pequeña columna de líquido que se somete a una tensión de esquileo $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ en un tiempo de $\Delta t$, por lo que la tasa de deformación por esfuerzo cortante es $\frac{\Delta x}{\Delta t \Delta y} \to \frac{\partial u}{\partial y}$ .

En general, uno podría esperar que una capa de fluido sometido a una cierta tensión (fuerza) para acelerar hasta que la fuerza que actuaba sobre ella es equilibrada por la fuerza de arrastre que las experiencias de la capa debajo de ella. Entonces llegamos a una especie de estado estacionario distribución de la velocidad. A partir de esto podríamos caracterizar la distribución de la velocidad por parte de algunos en función de la tensión y la velocidad:

$\frac{\partial u}{\partial y}=f(\tau, u)$.

Ahora, en el estudio de los fluidos como el agua, uno se entera de que a velocidades muy bajas (en realidad, los bajos números de Reynolds) que la fuerza de arrastre es lineal con la velocidad, es decir, $f_d = - b\, v$. En este caso, se podría argumentar que en la (inercial) resto fotograma de la capa de líquido, es sólo que las velocidades relativas de las capas fluidas que entran en la ecuación de la fuerza, por lo que

$\frac{\partial u}{\partial y}=f(\tau)$.

Además, si la fuerza de arrastre es lineal con la velocidad, es decir, $f_d = - b\, v_\mathrm{rel}$, entonces la fuerza sobre una capa de líquido debe ser igual a la fuerza neta que actúa sobre él desde la capa de arriba o en la capa de debajo, es decir, $f_d = - b\, v_\mathrm{rel} = -b \frac{\Delta v}{\Delta y} \Delta y$. Tenga en cuenta que la masa de la capa es proporcional a $\Delta y$, de modo que podemos esperar que se deje caer a cabo una vez que la escala de nuestras ecuaciones de forma adecuada.

Creo que el punto es que Sir Newton no estaba pensando sobre mojado, la maicena, cuando escribió la ecuación. Para los no-Newtonianos los fluidos, la constante de proporcionalidad cambios con $\frac{du}{dy}$.

Ver este gráfico , por ejemplo.