Un mapa de complejos que es cero en cohomology pero no cero en$D(\mathcal{A})$

Question

Ayer me preguntó una muy similar pregunta acerca de un ejercicio de Gelfand del libro "Métodos de Álgebra Homológica". En los comentarios se señaló que había una versión más fácil de que el ejercicio, pero no pude resolverlo.

Dado $f: K^{\bullet} \to L^{\bullet}$ dada por las dos filas superiores de:

Tengo que demostrar que este mapa no es cero en $D(\mathcal{A})$, es decir, no hay ninguna cuasi isomorfismo $s$ tal que $sf$ es homotópica a $0$.

Sé que la fila más baja es acíclico en todos los grados, excepto desde 0 $s$ es un cuasi isomorfismo. También si denotamos $d^{A}$ el diferencial de la última complejo está claro que $s_1$ factores a través de $Ker(d^{A}_0)$.

Si denotamos $t$ el homotopy mapa tal que $s_1=d^{A}_{-1} t_1 + t_0 2$ $0=d^{A}_0 t_0$ también podemos ver que $t_0$ factores a través del núcleo. No sé cómo obtener más información para encontrar una contradicción.

Consejos para cualquier tipo de acabado esto? También no sé si este enfoque puede ser útil en caso considero algunos de asignación de los conos ?

Answer 1

Dado que$s$ es un cuasi isomorfismo, usted sabe que$$\bar s:\Bbb Z \to H^0(A)$$ is an isomorphism. Let $ x \ en A_0$ be $ s_1 (1) X Im (d ^ {- 1})$. Then $ H ^ 0 (A) \ cong \ Bbb Z $.

Deje$ generates $ y$y=t_1(1)$, entonces$z=t_0(1)$. Como consecuencia, tiene que$d^{-1}y+2z=x$ mod$x=2z$, es decir,$Im(d^{-1})$ en$x=2z$. Pero eso es una contradicción ya que$H^0(A)$ es un generador de$x$ (no se puede dividir 1 por 2 en$H^0(A)\cong \Bbb Z$).

Por lo tanto no hay tal homotopía$\Bbb Z$.