El grupo fundamental del grupo de Lie

Question

Si$G$ es un grupo de Lie compacto cuya álgebra de Lie$g$ tiene un centro trivial, muestre que el grupo fundamental de$G$ es finito.

Answer 1

Desde @the beatles enlace no funciona, voy a tratar de responder, mediante referencias a los resultados compacto Mentira grupos -

Podemos suponer que $G$ está conectado (ya que el grupo fundamental sólo se ve un determinado componente conectado).

Es sabido que un compacto de Lie del grupo de $G$ es reductiva, por lo que su mentira álgebra $\mathfrak g$ es de la forma $\mathfrak g = \mathfrak z \oplus \mathfrak s$ donde $\mathfrak z$ es central y $\mathfrak s$ es semi-simple.

$\mathfrak z$ es la Mentira de álgebra de $Z(G^o)$, y así desde el grupo dado, $G$ ha trivial centro es en realidad semi-simple. Por último, es un teorema de Weyl que un semi-compacta Mentira grupo finito grupo fundamental.

Para los resultados anteriores en compacto Mentira grupos véase, por ejemplo, el capítulo IV en Knapp del libro la Mentira de los grupos - más allá de una introducción.

Answer 2

Aquí está una prueba geométrica de este hecho. En primer lugar, observa que el $G$ admite un bi-invariante de la métrica de Riemann, es decir, una métrica invariante bajo derecha y a la izquierda de la multiplicación. Uno, a continuación, calcula la curvatura de Ricci de esta métrica y concluye que es estrictamente positivo. Por último, el uso de Myers del teorema que establece que un colector de estrictamente positivo de la curvatura de Ricci es compacto. Mirando a la universalización de la cobertura, esto implica que $\pi_1$ de dicho colector tiene que ser finito. Usted puede encontrar todo esto, por ejemplo, en Do Carmo del libro "Geometría de Riemann".