Evaluar$\lim_{x \to \infty}{\frac{1}{2^x-5^x+3^x}}$. ¿Por qué mi solución es incorrecta?

Question

Evalúe$$\lim_{x \to\infty}{\frac{1}{2^x-5^x+3^x}}. $ $

Mi intento:
$ \ Lim \ limits_ {x \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {2 ^ x-5 ^ x 3 ^ x}} = \ lim \ limits_ {x \ rightarrow \ infty} {\ frac {1 } {2 ^ x} \ cdot \ frac {1} {1- \ frac {5 ^ x} {2 ^ x} \ frac {3 ^ x} {2 ^ x}}} \\ = \ lim \ limits_ {X \ rightarrow \ infty} \ frac {1} {2 ^ x} \ cdot \ frac {1} {\ frac {1} {5 ^ x} - \ frac {5 ^ x} {10 ^ x} \ Frac {3 ^ x} {10 ^ x}} \ cdot \ frac {1} {5 ^ x}} = 0 \ cdot \ infty \ cdot 0 = 0.
Alguien me dijo que es una manera incorrecta de mostrar el límite. ¿Puede alguien explicar por qué?

Answer 1

Porque$0\cdot \infty$ es un formulario Indeterminado . Tenga en cuenta que$${\frac{1}{2^x-5^x+3^x}}=\left(\frac{1}{5}\right)^x\cdot \frac{1}{\left(\frac{2}{5}\right)^x-1+\left(\frac{3}{5}\right)^x}.$ $ Dado que$1/5$,$2/5$ y$3/5$ son números positivos menos de$1$, ¿qué podemos concluir como$x\to +\infty$?

Answer 2

$0\cdot \infty$ es $inderterminate$. Para ver esto, calcule los siguientes límites:$$\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} \cdot x\qquad \text{and} \lim_{x\to \infty} 0\cdot x,$ $ que son ambos de la forma$0\cdot \infty$.

Answer 3

Porque no es cierto que$0\times\infty\times0=0$. De hecho,$0\times\infty\times0$ es indeterminado.