Dejemos que $x$ y $y$ sean enteros positivos. ¿Es posible que $(x+2)(x+1)x=3(y+2)(y+1)y$ ?
Dirigí un programa para $1\le{x,y}\le1\text{ }000\text{ }000$ y no he encontrado ninguna solución, así que creo que no hay ninguna.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La ecuación $x(x+1)(x+2) = 3y(y+1)(y+2)$ equivale a $\left(\frac{24}{3y-x+2}\right)^2 = \left(\frac{3y-9x-6}{3y-x+2}\right)^3-27\left(\frac{3y-9x-6}{3y-x+2}\right)+90$ .
Se trata de una curva elíptica de conductor $3888$ . La tabla de Cremona dice que su grupo de puntos racionales es de rango $2$ y es generado por las soluciones obvias $(x,y) \in \{-2;-1;0\}^2$
No estoy seguro de cómo se puede demostrar un límite superior para las soluciones integrales de la ecuación original. Hay artículos sobre el tema (por ejemplo, "Solving elliptic diophantine equations: The general cubic case", de Stroeker y de Weger, parece ser aplicable en este caso)
También, ver Cómo calcular puntos racionales o enteros en curvas elípticas
Shabaz
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403
Parece poco probable. La búsqueda que has hecho parece sacarnos de la ley de los números pequeños. La ley de alguien dice que cuando las potencias recíprocas en una ecuación como esta suman menos de $1$ se debe esperar un número finito de soluciones. Aquí está $\frac 23$ . La ecuación se puede escribir $(x+1)((x+1)^2-1)=3(y+1)((y+1)^2-1)$ por lo que necesita $\frac {x+1}{y+1}$ para estar muy cerca de $\sqrt[3]3$ Podrías utilizar la fracción continua para encontrar los convergentes
Yong Hao Ng
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Completando la respuesta de mercio: No hay otras soluciones enteras.
La porción de Mercio:
Dejemos que $(x,y)$ sea una solución entera de $x(x+1)(x+2)=3y(y+1)(y+2)$ .
Podemos reescribirlo como $$\left(\dfrac{24}{3y-x+2}\right)^2=\left(\dfrac{3y-9x-6}{3y-x+2}\right)^3-27\left(\dfrac{3y-9x-6}{3y-x+2}\right)+90$$ o simplemente $$E:Y^2=X^3-27X+90.$$ $E$ es una curva elíptica ya que $\Delta=-139968\neq 0$ .
Desde $x,y$ son enteros, dan lugar a una solución racional en $E(\mathbb Q)$ , a través de $$(x,y)\mapsto \left(\dfrac{3y-9x-6}{3y-x+2},\dfrac{24}{3y-x+2}\right)=(X,Y).$$ Sin embargo, esto sólo tiene sentido si $3y-x+2\neq 0$ . Supongamos lo contrario, $x=3y+2$ entonces $$24^2(3y-x+2)=(3y-9x-6)^3-27(3y-9x-6)(3y-x+2)^2+90(3y-x+2)^3$$ $$0=3y-9x-6\Leftrightarrow 0=y-3x-2$$ Junto con $x=3y+2$ tenemos $$ y-9y-6-2=0\implies y=-1$$ Así que falla cuando $(x,y) = (-1,-1)$ .
Ignorando esto, entonces cada $(x,y)$ la solución integral debe dar lugar a un punto racional $(X,Y)$ en $E$ .
Podemos utilizar los siguientes comandos en Sage:
E = EllipticCurve([0,0,0,-27,90]); E.rank() E.gens()
Lo que nos dirá que $E(\mathbb Q)$ es libre de torsión y de rango 2 y está generado por $(-5, 10), (-3, 12)$ .
Por lo tanto, todos los puntos racionales de $E$ se puede escribir como: $$P\in E(\mathbb Q)\Longleftrightarrow P = [a](-5,10)\oplus [b](-3,12)$$ para algunos $a,b\in\Bbb Z$ .
Resolver para $(x,y)$ utilizando $E(\mathbb Q)$ :
Si cualquier $P\in E(\mathbb Q)$ puede mapearse a partir de una solución integral $(x,y)$ , entonces tenemos relaciones $$\dfrac{3y-9x-6}{3y-x+2}=X,\dfrac{24}{3y-x+2}=Y,$$ y podemos comprobar la validez resolviendo las ecuaciones simultáneas.
Tenga en cuenta que para $Y$ el numerador siempre será pequeño ya que $x$ y $y$ son números enteros.
Por lo tanto, todo lo que tenemos que hacer es generar todos $(a,b)\in \mathbb Z^2$ , entonces forme $P=(X,Y)$ y comprobar si satisface las ecuaciones simultáneas.
El problema es $\{(a,b)\}$ es un conjunto infinito.
Sin embargo, una propiedad (de altura) de la curva elíptica nos dice que:
(1) A medida que añadimos más puntos, esperamos $X$ y $Y$ para que no sean enteros.
(2) Como no son puntos de torsión, también esperamos que el numerador/denominador crezca exponencialmente.
(3) El numerador y el denominador tendrán aproximadamente el mismo número de dígitos al crecer.
Combinando todo (3), esto dice que gradualmente el numerador de $Y$ debe aumentar.
Edición 2: No es suficiente. Esto es cierto para casi todos los puntos, pero tenemos que demostrar que no nos hemos saltado ninguno. Solución temporal en los comentarios, añadiré la solución adecuada después de comprobar mi trabajo.
Fin_Edición_2
A modo de ejemplo, dejemos que $P=(-5,10)$ y considerar $\varphi(P)=\{P,[2]P,\dots\}$ .
Lo conseguiremos: $$\left\{(-5,10),\left(\dfrac{394}{25}, \dfrac{-7478}{125} \right), \left(\dfrac{148795}{269361},\dfrac{1212735770}{139798359} \right), \left(\dfrac{25189696321}{5592048400},\dfrac{-3233187530793631}{418173379352000}\right),\left(\dfrac{41697179388698395}{10487471993072881}, \dfrac{7244632674771290918438950}{1074004796869053110612279}\right),\dots\right\}$$
Observamos entonces que para nuestra solución en $(x,y)$ necesitamos $Y=24/(3y-x+2)$ .
En particular, esto dice que el numerador debe ser bastante pequeño.
Por lo tanto, basta con comprobar que $P=[a](-5,10)\oplus [b](-3,12)$ para valores pequeños de $(a,b)$ .
(Por ejemplo, digamos $-5\leq a,b\leq 5$ .)
Entonces encontraremos que las únicas soluciones son las triviales negativas.
