Probar o refutar$ \ (A \times A) - (B \times B) = (A-B) \times (A-B)$

Question

Pregunta:

Sea$ A,B$ establecido.

Probar o refutar:$ \ (A \times A) - (B \times B) = (A-B) \times (A-B)$

Mi intento:

Permita$ \ (x,y) \in (A \times A) - (B \times B) \implies (x,y) \in (A \times A)$ y$ \ (x,y) \notin (B \times B) \implies x \in A $ y$ \ x\notin B$ y$ \ y \in A$ y$ \ y \notin B \implies (x,y) \in (A-B) \times (A-B)$

Permita$ \ (x,y) \in (A-B) \times (A-B) \implies x \in A$ y$ x \notin B$ y$ \ y \in A$ y$ \ y \notin B \implies (x,y) \in (A \times A)$ y$ \ (x,y) \notin (B \times B) \implies (x,y) \in (A \times A) - (B \times B)$.

¿Es correcto este enfoque?

Answer 1

No, porque la declaración es falsa. Sea$A$ be$\mathbb{R}$ y deje$B = \{0\}$. Entonces,$(A \times A) - (B \times B)$ es$\mathbb{R}^2$ menos el origen, mientras que$(A - B) \times (A - B)$ es el plano menos ambos ejes.

Answer 2

Su prueba de que$(A-B)\times(A-B) \subseteq (A\times A)-(B\times B)$ es correcta. Sin embargo, la inclusión inversa falla. Considere$A:=\{1,2\}$ y$B:=\{2\}$. A continuación,$$(A\times A)-(B\times B)=\{(1,1),(1,2),(2,1)\}$$ is not a subset of $

Answer 3

Esto es incorrecto. Por ejemplo, si $A = \{0,1\}$$B = \{1\}$,$A \times A - B \times B = \{(0,1),(1,0),(0,0)\}$, mientras que $(A - B) \times (A - B) = \{ (0,0)\}$.

La razón de por qué su respuesta es incorrecta, es debido a la siguiente lógica : Si $(x,y) \notin A \times B$, entonces es que no es cierto que $x \in A ,y \in B$ deben ambos ser falso, es suficiente si uno de ellos es falso. En el ejemplo anterior, usted puede ver esto claramente.

Aún más claro : Supongamos $A$ $B$ son conjuntos finitos, y $B \subset A$. Entonces, la cardinalidad de a$A \times A - B \times B$$|A|^2 - |B|^2$, mientras que la cardinalidad de a$(A-B) \times (A - B)$$(|A| - |B|)^2$. Si los conjuntos son iguales, entonces sus cardinalidades son iguales, pero ¿cuándo crees que sucede esto? Ciertamente, no todo el tiempo.

Answer 4

Supongamos que$A$ tiene$a$ elementos y$B$ es un$b$ - subconjunto de elementos de% #% Elementos, mientras que el lado derecho tiene elementos$A.$. Para que los conjuntos sean iguales, debe tener$a^2-b^2$ ¿Es eso siempre cierto?

Answer 5

No. Un ejemplo es$A=[1,3]$ y$B=[2,4]$ así que dibujalo en el avión que lo encuentres!