Es $\sum_{k=1}^n \cos \sqrt k= o(n)$ como $n\to \infty$ ?

Question

En el solución @Jack D'Aurizio: dio la estimación $$\sum_{k=1}^{n} \cos k^2 = \mathcal{O}(\sqrt{n}\log n)$$ y mencionó el Desigualdades de Weyl
$$\sum_{k=1}^n \cos( f(k) ) = \mathcal{O}(F(n))$$ si $f$ es una función polinómica.

Me pregunto si se pueden dar algunas estimaciones no triviales para otro tipo de funciones, por ejemplo $$\sum_{k=1}^n \cos \sqrt{k} = \mathcal{O}(F(n))$$ para algunos $F(n) = \mathcal{o}(n)$ .

Answer 1

Tenemos

$$\sum_{k = 1}^n \cos \sqrt{k} = \frac{\cos 1 + \cos \sqrt{n}}{2} + \int_1^n \cos \sqrt{t}\,dt - \int_1^n \bigl(\lbrace t\rbrace - \tfrac{1}{2}\bigr)\frac{\sin \sqrt{t}}{2\sqrt{t}}\,dt.$$

El primer término está acotado, y la segunda integral es $O(\sqrt{n})$ como se desprende de la delimitación de $\sin \sqrt{t}$ y $\lbrace t\rbrace - \frac{1}{2}$ . Por lo tanto, queda por estimar

\begin{align} \int_1^n \cos \sqrt{t}\,dt &= 2\int_1^{\sqrt{n}} u\cos u\,du \\ &= 2u\sin u \biggr\rvert_1^{\sqrt{n}} - 2\int_1^{\sqrt{n}} \sin u\,du \\ &= 2\sqrt{n}\sin \sqrt{n} - 2\sin 1 + 2\cos \sqrt{n} - 2, \end{align}

que claramente está en $O(\sqrt{n})$ .

En general, para $0 < \alpha < 1$ obtenemos

$$\sum_{k = 1}^n \cos k^{\alpha} = \frac{\cos 1 + \cos n^{\alpha}}{2} + \int_1^n \cos t^{\alpha}\,dt - \alpha\int_1^n p_1(t)t^{\alpha-1}\sin t^{\alpha}\,dt,\tag{$ \N - El brindis $}$$

donde $p_1(t) = \lbrace t\rbrace - \frac{1}{2}$ . Podemos estimar la primera integral sustituyendo $u = t^{\alpha}$ y la integración por partes:

\begin{align} \int_1^n \cos t^{\alpha}\,dt &= \frac{1}{\alpha} \int_1^{n^{\alpha}} u^{\frac{1}{\alpha}-1}\cos u\,du \\ &= \frac{u^{1/\alpha-1}\sin u}{\alpha}\biggr\rvert_1^{n^{\alpha}} - \frac{1}{\alpha}\biggl(\frac{1}{\alpha}-1\biggr)\int_1^{n^{\alpha}} u^{\frac{1}{\alpha}-2}\sin u\,du. \end{align}

El primer término es $\frac{1}{\alpha}\bigl(n^{1-\alpha}\sin n^{\alpha} - \sin 1\bigr)$ y utilizando $\lvert \sin u\rvert \leqslant 1$ vemos que la integral restante también pertenece a $O(n^{1-\alpha})$ .

Para la integral

$$\alpha\int_1^n p_1(t)t^{\alpha-1}\sin t^{\alpha}\,dt,$$

obtenemos inmediatamente un $O(n^{\alpha})$ acotado utilizando la acotación de $p_1$ y $\sin$ . Para $\alpha \leqslant \frac{1}{2}$ , este es menor que el límite de la otra integral. Para $\alpha > \frac{1}{2}$ , todavía tenemos un $O(n^{\alpha})$ para la suma, lo que basta para concluir que

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\cos k^{\alpha}}{k}$$

converge. Pero podemos reducir el límite utilizando la integración por partes:

$$\int_1^n p_1(t) t^{\alpha-1} \sin t^{\alpha} = p_2(t)t^{\alpha-1}\sin t^{\alpha}\biggr\rvert_1^n - (\alpha-1)\int_1^n p_2(t)t^{\alpha-2}\sin t^{\alpha}\,dt - \alpha \int_1^n p_2(t)t^{2(\alpha-1)}\cos t^{\alpha}\,dt$$

donde los dos primeros términos de la derecha están acotados, y la última integral está acotada elementalmente por $C\cdot n^{2\alpha - 1}$ . Continuando con la integración por partes, encontramos que la última integral en $(\ast)$ pertenece a $O(n^{1 - m(1-\alpha)})$ por cada $0 < m \leqslant \frac{1}{1-\alpha}$ y finalmente obtenemos

$$\int_1^n p_1(t)t^{\alpha-1}\sin t^{\alpha}\,dt \in O(1),$$

por lo que la suma pertenece a $O(n^{1-\alpha})$ por cada $\alpha \in (0,1)$ [esto también es cierto para $\alpha = 0$ y $\alpha = 1$ ].

Observando que $\cos k^{\alpha} \geqslant \frac{1}{2}$ para

$$\bigl(2m - \tfrac{1}{3}\bigr)\pi \leqslant k^{\alpha} \leqslant \bigl(2m + \tfrac{1}{3}\bigr)\pi,$$

vemos que el límite anterior es agudo. Para $n \approx \bigl((2m+\frac{1}{3})\pi\bigr)^{1/\alpha}$ tenemos $\Theta(n^{1-\alpha})$ términos sucesivos que son $\geqslant \frac{1}{2}$ por lo que la suma parcial debe haber tenido al menos el orden $\ell^{1-\alpha}$ para algunos $\ell \leqslant n$ .