Un enigma algebraico: el rey ' cofre s lleno de bolsas de monedas de oro

Question

Considere el siguiente acertijo en forma corta:

Un rey en busca de una nueva tesorero, y pido a todos los posibles candidatos la siguiente pregunta para comprobar sus habilidades lógico.

"Hay un cofre en frente de usted. El pecho tiene bolsas que contienen la misma cantidad de monedas de oro. El cofre contiene un total de monedas entre 150 y 200. El pecho tiene más de una bolsa y cada bolsa tiene más de una moneda. Si me gustaría decir que el total de las monedas en el pecho, usted sería capaz de decirme cuántas bolsas en el pecho tiene y cuántas monedas de cada bolsa contiene. Cuántas monedas hay en el pecho, ¿cuántas monedas hay en cada bolsa, y cuántas bolsas en el pecho?"

He encontrado la respuesta por el uso de algún tipo de fuerza bruta de dividir el número entre 150 y 200 para encontrar la solución. Pero ¿cómo se podía resolver este usando álgebra?

Answer 1

Supongamos que hay $182$ monedas. Que podría ser $14×13$ o $26×7$, entre otras cosas. Así que no podría decir cuántas bolsas o cuántas monedas por bolsa hay.

Supongamos que hay $187$ monedas. Que sólo puede ser $11×17$, el producto de dos números primos. Pero que es $11$, el número de bolsas o el número de monedas por bolsa?

Para evitar estas ambigüedades, usted necesita un número de monedas que es el producto de dos idénticos números primos, lo que significa que es el cuadrado de este primos comunes. Hay sólo un número entre el$150$$200$.

Al parecer, el rey no es triskaidekaphobic ... .

Answer 2

Tomemos nota de $b$ el número de bolsas en el pecho.

Tomemos nota de $c$ el número de monedas en cada una de las bolsas.

Entonces podemos deducir fácilmente que el número total de monedas $t$ en el pecho es :

$$t = b*c$$

Además tenemos a $b>1,c>1$ como una condición.

Ahora el problema aquí es que si el Rey da $t$, a continuación, nos encontramos con una ecuación con dos variables, lo que significa que no puede haber varias soluciones :

Por ejemplo, digamos que el Rey dice: "Hay $180$ monedas en el pecho", que es $t=180$, ahora nos encontramos con la siguiente ecuación :

$$180 = b*c$$

Para el que hay múltiples $(b,c)$ soluciones de :

$$(2,90),(3,60),(4,45), (5,36),(6,30),(9,20),(10,18),(12,15),(15,12),(18,10),(20,9,(30,6),(36,5),(45,4),(60,3),(90,2)$$

Aquí elegí $180$ podría haber un montón de soluciones.

También podría ser que no hay solución si el Rey dice un número primo entre el$150$$200$, los cuales son :

$$151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199$$

Debido a que el número de bolsas y monedas es un entero y cualquiera de los números no puede ser el producto de dos números enteros mayores $1$, no hay ninguna solución para esos números.

EDITAR :

Si me gustaría decir que el total de las monedas en el pecho, usted sería capaz de decirme cómo >muchas bolsas en el pecho tiene y cuántas monedas de cada bolsa contiene.

Esto significa que el número total de monedas que se da una sola $(b,c)$ solución. Lo que significa :

• $b=c$ o más $(b,c)$ $(c,b)$ son dos soluciones diferentes.

• $b$ es un número primo, o de lo contrario podríamos tener más soluciones.

Ahora con esas pistas y $t\in [150,200]$ podemos deducir que :

$$t=169\text{ and } b=c=13$$