Función de Möbius de números consecutivos

Question

Esta pregunta surgió a partir de un problema en el libro de Niven y Zuckerman "Introducción a la teoría de los números". En el capítulo en el que los autores introducen la función de Möbius, el primer ejercicio es el siguiente:

Encuentre un número entero positivo $n$ tal que $\mu(n)+\mu(n+1)+\mu(n+2)=3$ es decir $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=1$ . Un enfoque de fuerza bruta revela la solución $n=33$ .

Mi pregunta es simplemente: ¿Existen infinitas $n$ en las condiciones anteriores?

Realmente no sé cómo enfocar este problema. He probado varias cosas (factoriales, teorema chino del resto, etc.) y no he conseguido nada. Además, para los primeros mil números, están las soluciones $n=33,85,93,141,201,213,217,301,393,445,633,697,869,921$ . También se puede pensar en la variación del problema con $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=-1$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Esto no es una respuesta, hago alguna predicción a partir de la probabilidad. Curiosamente, los resultados predichos y los resultados reales son muy similares.

Desde $\mu(n)=0$ si $n$ no es libre de cuadrados, debemos excluir esta posibilidad, $$n\not\equiv 0,-1,-2 \pmod {p^2}, \forall \in \mathbb P.$$ $$\prod_{p\in\mathbb P} (1-\frac{3}{p^2})\approx 0.125802 \approx \frac{1}8.$$

Por lo tanto, tenemos alrededor de $\dfrac{1}8$ posibilidades de $n$ tal que $\mu(n),\mu(n+1),\mu(n+2)$ no son iguales a $0$ .

Suponemos que si $\mu(m)\neq 0$ entonces la probabilidad de que las caras de una moneda lanzada sean iguales, la probabilidad de $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=1$ es igual a $$0.125802 \times \frac{1}2\times \frac{1}2 \times \frac{1}2 \approx \frac{1}{64}.$$

Por lo tanto, hay alrededor de $\dfrac{N}{64}$ tales enteros $n\leq N.$ A063838 dice $a_{1000}=67105$ Esto se aproxima mucho a nuestro resultado.

Answer 2

Una vez más, esto no es realmente una respuesta, pero tal vez es una interpretación interesante del problema que merece una discusión más profunda (Su utilidad no la conozco): Dado que la suma de las primitivas $n$ La raíz de la unidad es $\mu(n)$ esto equivale a encontrar $n$ de manera que los coeficientes de la $x^{\varphi(n)-1}, x^{\varphi(n+1)-1}$ y $x^{\varphi(n+2)-1}$ términos de los polinomios ciclotómicos $\Phi_n(x), \Phi_{n+1}(x)$ y $\Phi_{n+2}(x)$ respectivamente son todos iguales a $1$ .